4.5 Швидкість розповсюдження електромагнітної енергії

Існує аналогія між електричними величинами (4.22) з одного боку і зарядами і струмами (1.16) – з другої:

(4.50)

(4.51)

Щоб отримати енергетичний аналог швидкості розповсюдження електромагнітної енергії, необхідно розглянути розподіл заряду носії якого переміщуються із швидкістю . При цьому існує струм з густиноюяка напрямлена як і. Якщо густина заряду, то

(4.52)

Доведення. Звернемося до рис. 2.6, б. На ньому показаний елементарний циліндр, основа якого орієнтована нормально до напрямку руху частинок, а об’єм дорівнює . Заряд в середині цього циліндра дорівнює. Абсолютна величина струму, який проходить через поверхнюбуде дорівнювати

(4.53)

Припустимо, що циліндр перемістився за час на відстань. При цьому, через поперечний перерізпройде заряд

(4.54)

В той же час заряд в зміщеній частині об’єму буде дорівнювати

(4.55)

Прирівняємо (4.54) і (4.55) і отримаємо

Перейдемо до границі при і враховуючи, що, отримуємо

В векторній формі

що повністю відповідає (4.52).

Всі роздуми при отриманні доведення (4.52) можна повторити, коли розглядається рух енергії. При цьому отримується енергетичний аналог (4.52):

(4.56)

тут – швидкість руху енергії, яка дорівнює

(4.57)

Її завжди можна визначити, якщо відоме поле і знайдені величини вектора Пойнтинга і об’ємної густини енергії електромагнітного поля.

4.6 Теорема єдиності для внутрішніх і зовнішніх задач електродинаміки

Рівняння Максвела являються диференційними рівняннями в частинних похідних і припускають безліч розв’язків. Щоб отримати єдиний розв’язок ,необхідно, щоб ЕМП задовольняло не тільки рівнянням Максвела, але і деяким додатковим вимогам, які б однозначно визначали існування поля. Що це за вимоги і якими вони повинні бути, відповідаєтеорема єдиності.

При її доведенні розрізняють внутрішні і зовнішні задачі електродинаміки. Внутрішня задача – знаходиться ЕМП всередині V, обмеженого поверхнею S. Зовнішня задача – знаходиться ЕМП поза деяким об’ємом V.

Внутрішня задача електродинаміки. Теорема єдиності стверджує, що в середині області , обмеженої замкнутою поверхнею(рис. 4.4), розв’язок рівнянь Максвела для комплексних амплітуд

(4.58)

єдиний, якщо, по-перше, воно задовольняє одну з трьох крайових умов:

а) в кожній точці М поверхні S задана тангенціальна складова вектора(задача);

б) в кожній точці М поверхні S задана тангенціальна складова вектора(задача);

в) на одній частині поверхні задана, а на решті частинизадана(задача), причому

– і якщо, по-друге, при відсутності втрат , частотав (4.50) не співпадає ні з одною з резонансних частот в області V.

Припустимо, що існують два розв’язки поставленої задачі і, які відповідають одному і тому ж розподілу густини стороннього струму.

Підставивши їх в (4.58) будемо мати два варіанти запису рівнянь. Віднявши з першого друге рівняння, найдемо, що різниця розв’язків

(4.59)

задовольняють однорідним рівнянням Максвела

. (4.60)

Величина зникає, оскільки в обох варіантах фігурувала одна і таж задана величинав(4.58).

На поверхні полеповинне задовольняти наступним граничним умовам:

у випадку Е – задачі ; (4.61)

у випадку Н – задачі ; (4.62)

у випадку Е Н – задачі наана(4.63)

Рівняння балансу для активної потужності різниці поля буде мати вигляд

. (4.64)

Якщо об’єм заповнений поглинаючим середовищем, тобто ,, то інтеграл з правої частини перетвориться в нуль, якщо, тобто два розв’язки рівнянь Максвела співпадають у всьому об’ємі V. Тоді перетвориться в нуль і інтеграл в лівій частині (4.64). Це виникне, прина всій поверхні S, абона частині поверхні; а на частині поверхні, тобто повинні бути задані дотичні складові електричного, або магнітного полів.

Отже, задача дійсно має один розв’язок : і.

Якщо , то розв’язок буде нетривіальним, тобто не буде тотожно перетворюватися в нуль. Це свідчить про те, що в об’єміне виникає перетворення електромагнітної енергії в її інші види. В цьому випадку розв’язки рівнянь Максвела не являються єдиними.

Зовнішня задача електродинаміки. В цьому випадку поверхні S не охоплює розглядувану частину простору, яка розповсюджується до нескінченості (рис. 4.5). Необхідно, крім перерахованих умов для єдиності розв’язку для внутрішньої задачі, знати додаткову умову, яка характеризує поведінку векторів ів точках, нескінченно віддалених від поверхні S.

Подумки проведемо з довільної точки О в середині об’єму V сферу радіусу r так, щоб об’єм V і сторонні джерелавиявились в середині цієї сфери. Об’єм між S іпозначимо(рис. 4.5). Будемо шукати розв’язок рівнянь Максвела в середині цієї сфери. Таким чином, зовнішня задача звелася до внутрішньої задачі електродинаміки. Для єдиності розв’язку необхідно, щоб всерединіі

.

Так як сфера розташовується довільно, то треба щоб кожний з інтегралів дорівнював нулю. Щоб перший інтеграл дорівнював нулю, необхідно задавати дотичні складові і. Спрямувавши радіус сферидо нескінченності, з рівності нулю другого інтегралу отримаємо

. (4.65)

При поверхнязростає пропорційно до. Отже, щоб виконалась умова (4.65), необхідно, щоб абсолютна величина добуткупризменшувалась швидше, ніж, тобто амплітуда векторівізменшувались швидше. Для цього достатньо, щоб невідомі величиниізменшувались швидше. Останнє завжди має місце, тобто в реальних середовищах існують втрати енергії.

Таким чином, розв’язок зовнішньої задачі існує і в єдиному вигляді, якщо середовище, яке заповнює простір являється поглинаючим; на поверхні області, поза якою визначене поле, задані дотичні складові іі електромагнітне поле задовольняє умові (4.57).

Для середовища без втрат теорему єдиності для зовнішньої задачі електродинаміки можна довести, якщо замість умови зменшення векторів іпришвидшевимагати виконання наступних умов:

. (4.66)

Співвідношення (4.58) називаються умовами випромінювання: при необхідно, щоб поле мало характер сферичних хвиль, які розходяться від джерела. Співвідношення (4.66) відомо ще якумова випромінювання Зомерфельда.