5.2 Векторний та скалярний потенціали. Вектор Герца

Хвильові рівняння (5.13), отримані в (5.1) застосовуються для визначення векторів електромагнітного поля, як правило, у випадку, якщо відсутні сторонні джерела, тобто коли ці рівняння однорідні – праві частини дорівнюють нулю. Якщо рівняння неоднорідні, тобто присутні праві частини, то розв’язок цих рівнянь ускладнено. Це пояснюються тим, що стороні струми і заряди входять в ці рівняння під знаком диференціальних операторів ().

Тому в електродинамці, для спрощення розв’язку практичних задач, вводять допоміжні функції, а потім через них обчислюють вектори і. Ці функції зв’язані з векторамиіпростими співвідношеннями, для яких праві частини рівнянь (5.13) мали неі, а самі стороні зарядиі стороні струми.

Такі допоміжні функції називаються електродинамічними потенціалами (скалярний потенціал , векторний потенціал ).

У випадку гармонічних полів, рівняння Максвела мають вигляд:

(5.18)

Отримаємо рівняння для векторного потенціалу . Для цього скористаємосячетвертим рівнянням Максвела в системі (5.18). Так як дивергенція ротора будь якого вектора дорівнює нулю (), то з четвертого рівняння Максвела слідує, що вектор можна представити у вигляді ротора деякого вектора:

(5.19)

Векторну функцію називаютьвекторним електродинамічним потенціалом.

Підставимо рівність (5.19) в друге рівняння Максвела в (5.18):

або

(5.20)

З векторного аналізу відомо, що , де– будь-яка скалярна функція. Тому можна покласти, що

звідки

(5.21)

Скалярну функцію в (5.21) називаютьскалярним потенціалом. Знак “мінус” в (5.21) показує, що у випадку електростатичного поля функція співпадає з звичайним виразом для електростатичного потенціалу.

Підставляємо (5.19) і (5.21) в перше рівняння Максвела в системі (5.18):

. (5.22)

Помножимо (5.22) на і скористаємося векторною тотожністю

(5.23)

для перетворення лівої частини рівності (5.22):

,

або

(5.24)

В вираз (5.24) входять дві невідомі функції і. Але, якщо накласти додаткову умову, яка пов’язуює потенціалиі, яка називається умовою калібровки:

(5.25)

то отримуємо рівняння відносно векторного потенціалу :

(5.26)

Аналогічне рівняння можна отримати для скалярного потенціалу . Для цього необхідно підставити вираз для векторуз (5.21) в третє рівняння Максвела в (5.18):

або

(5.27)

Використовуючи умову калібровки (5.25) і тотожність, приходимо до рівняння дляскалярного потенціалу :

(5.28)

Таким чином, векторний і скалярнийпотенціали, як і векториізадовольняють неоднорідним рівнянням Гельмгольца. Однак праві частини рівнянь для потенціалів (5.26) і (5.28) мають більш простий вигляд.

Умова калібровки (5.25) дозволяє виразити скалярну функцію через векторний потенціал:

(5.29)

Щоб встановити зв’язок поля з джерелом випромінювання, необхідно розв’язати рівняння (5.26) і (5.28). Найдемо частині розв’язки, вважаючи функції івідомими в деякому об’ємі.

Згідно методу комплексних амплітуд множення на величину еквівалентне диференціюванню за часом, то рівняння (5.26) і (5.28) можна переписати у вигляді:

(5.30)

(5.31)

Щоб знайти розв’язок (5.30) і (5.31) необхідно розглянути більш просту задачу доля статичного випадку. Будемо вважати, що , а, аналогічно,. Хвильові рівняння (5.30) і (5.31) вироджуютьсяв рівняння Пуассона [3]:

(5.32)

(5.33)

Розв’язки цих рівнянь детально приведені в [3]. Тут скористаємося кінцевим результатом:

(5.34)

Цими формулами можна користуватися при квазістационарних процесах тобто процесах, які повільно змінюються за часом. Якщо ішвидко змінюються, то необхідно враховувати запізнювання процесу при розповсюджені. Поле в точці спостереженняМ буде визначатися не за значенням ів даний момент часу а більш ранніми значеннямиі, де, тобто це час, за який поле розповсюдилось від джерела до точки спостереження. Якщо опустити суворе доведення розв’язку, з яким можна детально ознайомитися в [3], то розв’язки можна визначити як

(5.35)

де ізв’язані рівнянням неперервності:

Формули (5.35) називаються запізнювальними потенціалами.

Для гармонічного за часом процесу замість

під знаком інтегралів (5.35), необхідно записати

або

де – стала розповсюдження у вільному просторі.

Якщо вважать, що середовище з втратами, то в комплексній формі вирази для амплітуд запізнювальних потенціалів ібудуть мати вигляд

(5.36)

(5.37)

де – комплексна амплітуда вектора;

– комплексна амплітуда скалярного потенціалу;

r – відстань від елементарного об’єму до точки спостереження М;

– комплексна стала розповсюдження.

Вирази (5.36) і (5.37) являються частинними розв’язками рівнянь (5.30) і (5.31) і представляють собою сферичні хвилі, які розходяться від джерела. Фронт хвилі – кульова поверхня, радіус якої зростає з швидкістю V.

Часто для наближених розрахунків об’ємне розподілення зарядів і струмів замінюють їх поверхневим розподілом . В цьому випадку

(5.38)

У випадку лінійного стороннього струму , комплексна амплітуда векторного потенціалубуде виражатися формулою:

(5.39)

Крім електродинамічних потенціалів і, використовують інші потенціали, наприклад,вектор Герца (). Цей вектор зв’язаний з потенціаламиіспіввідношеннями

(5.40)

Хвильове рівняння для комплексного вектора Герца [3] буде мати вигляд:

(5.41)

Комплексна амплітуда вектора Герца () в результаті розв’язку рівняння (5.41) буде дорівнювати

(5.42)