96

Міністерство освіти і науки україни

Запорізький національний технічний університет

Л.М. Логачова, В.П. Дмитренко

К О Н С П Е К Т

лекцій з дисципліни

“Електродинаміка та поширення радіохвиль”

Частина 2

для студентів спеціальності 7090701 "Радіотехніка"

всіх форм навчання

Затверджено НМО

спеціальності як конспект лекцій

з дисципліни “Електродинаміка та

поширення радіохвиль”

Протокол №

2002

Конспект лекцій з дисципліни “Електродинаміка та поширення радіохвиль”, частина 2 для студентів спеціальності 7090701 “Радіотехніка” всіх форм навчання / Укл. Логачова Л.М., Дмитренко В.П. – Запоріжжя: ЗНТУ, 2002. - с.

Рекомендовано до видання як конспект лекцій з дисципліни “Електродинаміка та поширення радіохвиль”, “Теорія електричного поля” для студентів спеціальності 7090701 “Радіотехніка” на засіданні кафедри радіотехніки.

Протокол № від 2002 року

Укладачі:

Л.М. Логачова, ст. викладач

В.П. Дмитренко, доц., к.т.н.

Рецензент: В.П. Бондарєв, доц., к.т.н.

В.П. Дмитренко, доц., к.т.н.

Відповідальний за випуск: Л.М. Логачова, ст. викладач

зміст

5 Хвильові рівняння. Електродинамічні потенціали
5.1 Хвильові рівняння (рівняння Гельмгольця)
5.2 Векторний та скалярний потенціали. Вектор Герця
6 Плоскі електромагнітні хвилі
6.1 Загальні властивості плоских електромагнітних хвиль
6.2 Плоскі хвилі в різноманітних однорідних ізотропних середовищах
6.3 Поляризація електромагнітних хвиль
7 Хвильові явища на межі розділу двох середовищ
7.1 Нормальне падіння плоскої електромагнітної хвилі на діелектричний напівпростір
7.2 Однорідна плоска хвиля, що розповсюджується у довільному напрямку
7.3 Падіння плоскої електромагнітної хвилі на діелектричний на півпростір під довільним кутом
7.4 Кут Брюстера
7.5 Явище повного внутрішнього відбиття
7.6 Імпедансні граничні умови (умови Леонтовича)
7.7 Повне відбиття і напрямлені хвилі
7.8 Плоскопаралельний хвилевід
Перелік посилань
Додаток А. Деякі відомості з векторного аналізу
Додаток Б. Матеріали для хвилеводних пристроїв

Перелік скорочень

ЕМП – електромагнітне поле

ЕЕМП – енергія електромагнітного поля

5 Хвильові рівняння. Електродинамічні потенціали

5.1 Хвильові рівняння (рівняння Гельмгольця)

В електродинаміці існують два класи задач:

прямі задачі – необхідно визначити вектори і по відомим джерелам;

зворотні задачі– по заданому розподілу поля вимагається знайти його джерела;

Визначити вектори безпосередньо з рівнянь Максвела важко, тому їх необхідно перетворити так, щоб отримати диференційні рівняння більш зручні для розв’язку вказаних задач.

Вважаємо, що середовище являється лінійним, однорідним і ізотропним. Розглянемо систему рівнянь Максвела разом з матеріальними рівняннями. Візьмемо ротор від обох частин першого рівняння Максвела і змінимо порядок диференціювання за часом і координатами. Враховуючи співвідношення одержуємо

,

. (5.1)

Ліву частину рівняння (5.1) перетворимо за допомогою відомої векторної тотожності

, (5.2)

де - оператор Лапласа.

В декартовій системі координат оператор Лапласа має вигляд

. (5.3)

З урахуванням (5.2), (5.3) перепишемо рівняння (5.1) в формі

. (5.4)

Через те, що , крім того, то (5.4) приймає вигляд

. (5.5)

Рівняння (5.5) еквівалентне трьом скалярним рівнянням

(5.6)

які відносяться до рівнянь вигляду

. (5.7)

Такі рівняння (5.7) описують хвильові процеси і називаються неоднорідними хвильовими рівняннями, або неоднорідними рівняннями Даламбера. В них параметр V дорівнює швидкості хвильового процесу.

Якщо f (x, y, z, t)=0 – то це однорідні рівняння Даламбера. Рівняння (5.5) і (5.7) відрізняються тільки тим, що функції, які входять в (5.5) - векторні. Тому рівняння вигляду (5.5) - називаються неоднорідними векторними рівняннями Даламбера. Якщо права частина дорівнює нулю, то вони - однорідні векторні рівняння Даламбера.

Для вектору також можна вивести рівняння вигляду (5.4), взявши ротор від обох частин другого рівняння Максвела і виконавши аналогічні перетворення.

(5.8)

Враховуючи, що і вираз для² (5.3), перепишемо рівняння (5.8) в вигляді

. (5.9)

Через те, що , а, то (5.9) приймає форму

(5.10)

В подальшому буде показане, що множник , який входить в (5.4) і (5.10), являється аналогом параметру V в (5.7). Якщо середовище без втрат, то він відіграє роль швидкості розповсюдження електромагнітного поля і дорівнює швидкості світла V₀ в середовищі, яке розглядається.

Якщо в області, яка розглядається, є сторонні заряди і струми, то рівняння (5.5) і (5.10) будуть мати вигляд для векторів і

(5.11)

Вважаючи, що електромагнітні процеси встановилися, і середовище без втрат, в цьому випадку =0, =0, , то отримаємо з (5.11)

(5.12)

В випадку гармонійних полів, перейшовши у (5.12) до комплексних векторів, одержуємо

. (5.13)

де – комплексна магнітна і діелектрична проникність середовища.

Якщо в області простору, яка розглядується будуть відсутні сторонні струми і заряди , то (5.13) спрощується, і остаточно отримаємо

, (5.14)

. (5.15)

Рівняння вигляду (5.14) і (5.15) прийнято називати однорідними рівняннями Гельмгольца, а рівняння (5.13) – неоднорідними рівняннями Гельмгольца.

В рівняннях (5.14) і (5.15) – комплексне число, яке являється сталою розповсюдження електромагнітної хвилі. В літературі цю величину називають хвильовим числом або фазовою сталою. В подальшому ця величина буде розглянута детальніше.

На підставі рівнянь (5.14) і (5.15) можна зробити важливий висновок теорії Максвела – зміна в часі електричного і магнітного полів неминуче призводить до розповсюдження в просторі електромагнітних хвиль з деякою сталою частотою.

В координатній формі рівняння Гельмгольца, наприклад, (5.14) записується слідуючим чином

. (5.16)

Розв’язок системи (5.16) значно спрощується, якщо поле не має яких-небудь складових, наприклад, , а також, коли поле стале в будь-яких площинах, наприклад,

(5.17)