3.5. Комбинированные системы

Большинство реальных ТС имеет сложную комбинированную структуру, часть элементов которой образует последовательное соединение, другая часть - параллельное, отдельные ветви элементы или ветви структуры образуют мостиковые схемы или типа “m из n”.

Метод прямого перебора для таких систем оказывается практически не реализуем. Более целесообразно в этих случаях предварительно произвести декомпозицию системы, разбив ее на простые подсистемы - группы элементов, методика расчета надежности которых известна. Затем эти подсистемы в структурной схеме надежности заменяются квазиэлементами с вероятностями безотказной работы, равными вычисленным вероятностям безотказной работы этих подсистем. При необходимости такую процедуру можно выполнить несколько раз, до тех пор, пока оставшиеся квазиэлементы не образуют структуру, методика расчета надежности которой также известна.

В качестве примера рассмотрим комбинированную систему, представленную на рис. 3.6. Здесь элементы 2 и 5, 4 и 7, 9 и 12, 11 и 14 попарно образуют друг с другом последовательные соединения. Заменим их соответственно квазиэлементами А, В, С, Д, для которых расчет надежности элементарно выполняется по формулам п. 3.1. Элементы 15, 16, 17 и 18 образуют параллельное соединение (п. 3.2), а элементы 3, 6, 8, 10 и 13 - систему “3 из 5” (п. 3.2). Соответствующие квазиэлементы обозначим E и F. В результате преобразованная схема примет вид, показанный на рис. 3.7, а. В ней в свою очередь элементы А, В, С, Д, F образуют мостиковую схему (п. 3.4), которую заменяем квазиэлементом 6. Схема, полученная после таких преобразований (рис.3.7,б), образует последовательное соединение элементов 1, G, E, 19, для которых справедливы соотношения п. 3.1. Отметим, что метод прямого перебора для исходной системы потребовал бы рассмотреть возможных состояний.

3.6. Преобразования треугольника в звезду и обратно

Одним из методов определения характеристик надежности подобных структур является метод преобразования треугольника в звезду и обратно (рис. 3.9).

Рис. 3.8. Мостиковая схема

Из рис. 1 можно видеть, что элементы 1, 3, 5 образуют треугольник, а элементы 2, 5, 1 – звезду. Определим основные характеристики надежности рассматриваемых структур при их преобразовании. При этом в качестве показателей надежности будем использовать вероятности отказов элементов. Выбор указанных характеристик объясняется тем, что метод преобразования треугольника в звезду и обратно является приближенным. Значение возникающей погрешности при оценку надежности системы зависит от вероятностей, характеризующих надежность элементов. Чем меньше эти вероятности, тем меньше погрешность оценки надежности системы.

Рис. 3.9. Звезда и треугольник

Так как обычно вероятности безотказной работы элементов имеют значения, близкие к 1, то целесообразно использовать вероятности появления отказа q. Определим зависимости между вероятностями отказов элементов при преобразованиях исходя из предположения, что характеристики надежности цепей, соединяющих одноименные точки в различных схемах, должны быть равны между собой.

Рассмотрим точки 1 и 2 на рис. 3.9. Вероятности отказа для цепей при условии, что 3 точка подсоединена ко 2 точке, будет соответственно равны: для звезды ; для треугольника . Поэтому можно записать . Аналогично можно записать равенства и для других возможных вариантов соединения точек.

Таким образом, можно записать следующую систему уравнений:

;

;

;

Считая, что вероятности отказов элементов малы, и пренебрегая произведениями – величинами более высокого порядка малости, чем получим следующие приближенные выражения:

; ; .

Умножим соответственно левые и правые части двух первых равенств и разделим на третье равенство. Тогда

Откуда получим

(3.33)

Аналогично можно определить, что

, .

Если предположить, что 3 точка в схеме звезды является свободной, то соответствующие вероятности появления отказа в схемах звезды и треугольника будут соответственно равны: для звезды

; ; ;

для треугольника

; ; .

Пренебрегая в этих выражениях произведениями – величинами более высокого порядка малости, чем получим следующие приближенные зависимости:

;

;

.

Если к левой и правой частям первого равенства прибавим соответственно левую и правую части третьего уравнения и вычтем соответственно левую и правую части второго уравнения, то получим выражение:

,

которое было получено ранее.

Таким образом, приближенное выражение (3.33) может быть использовано в процессе преобразования одной схемы в другую.

Процесс преобразования осуществляется следующим образом. При переходе от звезды к треугольнику выделяют три элемента, соединенные звездой, и различают точки 1, 2 и 3 (рис. 3.10).

Затем соединяют отмеченные точки линиями, на которых размещают элементы (на рис. 3.10 связи точек показаны штриховой линией). Начиная обход полученного треугольника с точки 1 по ходу возрастания номеров точек, отметим новые элементы. Номер элемента образуется из двух цифр: первая цифра – номер узла, с которого осуществляем вход в элемент; вторая цифра – номер узла, на который выходим с элемента.

При переходе от треугольника в звезде выбираем три элемента, образующие треугольник, и размечаем узловые точки (рис. 3.11). Затем осуществляем обход треугольника с точки 1 по ходу возрастания номеров и отмечаем элементы в соответствии с правилом, указанным выше. Затем в середине треугольника размечаем точку 4, к которой подсоединяем связи с новыми элементами от отмеченных точек (на рис. 3.11 показаны штриховыми линиями).

Рис. 3.10. Преобразование звезды в треугольник	Рис. 3.11. Преобразование треугольника в звезду

При преобразовании треугольника в звезду или обратно необходимо добиваться получения последовательно-параллельной схемы, расчет надежности которой осуществляется методом свертки.