11-12 / лаб12 / 12

6

Лабораторная работа 12

Тема: Статистические игры

Цель работы: Выбрать оптимальное решение, используя различные статистические критерии.

Теоретические сведения

Статистические критерии для выбора оптимального решения рассмотрим на конкретном примере.

Сельскохозяйственное предприятие может реализовать некоторую продукцию:

А1) сразу после уборки;

А2) в зимние месяцы;

А3) в весенние месяцы.

Прибыль зависит от цены реализации в данный период времени, затратами на хранение и возможных потерь. Размер прибыли, рассчитанный для разных состояний-соотношений дохода и издержек (S1, S2 и S3), в течение всего периода реализации, представлен в виде матрицы (денежных единиц).

	S1	S2	S3
A1	2	0	5
A2	3	5	5
A3	4	5	6

Определить наиболее выгодную стратегию по всем критериям:

• Байеса;

• Лапласа;

• Вальд;

• Гурвица;

• Ходжа-Лемана;

• Сэвиджа).

В качестве исходных данных принять:

• вероятности состояний спроса p = 0,2; 0,5; 0,3;

• коэффициент пессимизма y = 0,4;

• коэффициент достоверности информации о состояниях спроса u = 0,6.

По результатам расчетов будем формировать таблицу 1 (последовательно заносим результаты, полученные по различным критериям).

	Байеса	Лапласа	Вальда	Гурвица	Ходжа-Лемана
А1	1,9	2,3	0	3	1,14
А2	4,6	4,3	3	4,2	3,96
А3	5,1	5	4	5,2	4,66
Принимаемое решение	А3	А3	А3	А3	А3

Критерий Байеса (максимального математического ожидания)

Расчет осуществляется по формуле:

;

W₁ = 2∙0,2 + 0 ∙0,5 + 5∙0,3 = 0,4 + 1,5 = 1,9

W₂ = 3∙0,2 + 5 ∙0,5 + 5∙0,3 = 0,6 + 2,5 + 1,5 = 4,6

W₃ = 4∙0,2 + 5 ∙0,5 + 6∙0,3 = 0,8 + 2,5 + 1,8 = 5,1

Находим максимальное значение из полученных значений математического ожидания W = max{1.9;4.6;5.1} = 5.1.

Таким образом, оптимальной по данному критерию является стратегия А3 – продавать в весенние месяцы.

Критерий Лапласа (недостаточного основания)

Находим среднее значение элементов каждой строки:

.

W₁=1/3(2+0+5)=1/3*7=2,3

W₂=1/3(3+5+5)=1/3*13=4,3

W₃=1/3(4+5+6)=1/3*15=5

.

Определяется максимальное значение W = max{2.3; 4.3; 5} = 5.

Оптимальной по данному критерию является стратегия А3 – продавать в весенние месяцы.

Критерий Вальда (максиминный)

За оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.

W= max(min a_ij)

В каждой строке находим минимальный элемент:

W₁ = min{2; 0; 5} = 0

W₂ = min{3; 5; 5} = 3

W₃ = min{4; 5; 6} = 4

Выбираем максимальное W= max{0; 3; 4} = 4.

Оптимальной по данному критерию является стратегия А3 – продавать в весенние месяцы.

Критерий Гурвица (пессимизма-оптимизма)

За оптимальную принимается стратегия, для которой выполняется соотношение:

max(W_i)

где

W_i=ymin(a_ij)+(1-y)max(a_ij)

При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).

По условию y = 0.4, значит:

W₁ = 0,4∙min{2;0;5} + (1-0,4) ∙ max{2;0;5} = 0,4∙0+ 0,6∙5 = 0 + 3 = 3;

W₂ = 0,4∙min{3;5;5} + 0,6 ∙ max{3;5;5} = 0,4∙3 + 0,6∙5 = 1,2 + 3 = 4,2;

W₃ = 0,4∙min{4;5;6} + 0,6 ∙ max{4;5;6} = 0,4∙4 + 0,6∙6 = 1,6 + 3,6 = 5,2.

Выбираем максимальное W = max{3; 4.2; 5.2} = 5.2.

Оптимальной по данному критерию является стратегия А3 – продавать в весенние месяцы.

Критерий Ходжа-Лемана

Для каждой строки рассчитываем значение критерия по формуле:

По условию u = 0.6 и множители в каждом слагаемом уже рассчитаны, их можно взять из расчетов по критериям Байеса и Вальда.

W₁ = 0,6∙1,9 + (1-0,6) ∙0 = 1,14=1,1

W₂ = 0,6∙4,6 + 0,4 ∙3 = 2,76 + 1,2 = 3,96=4

W₃ = 0,6∙5,1 + 0,4 ∙4 = 3,06 + 1,6 = 4,66=4,7

Выбираем максимальное W = max{1.1; 4; 4.7} = 4.7.

Оптимальной по данному критерию является стратегия А3 – продавать в весенние месяцы.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа

Рассчитаем матрицу рисков. Для этого в каждом столбце находим максимальный элемент и вычитаем из него все остальные элементы столбца, результаты записываем на соответствующих местах, т.е. по формуле

Первый столбец матрицы рисков.

Максимальный элемент в первом столбце: a₃₁ = 4, значит по формуле:

r₁₁ = 4 – a₁₁ = 4 – 2 = 2

r₂₁ = 4 – a₂₁ = 4 – 3 = 1

r₃₁ = 4 – a₃₁ = 4 – 4 = 0

Второй столбец матрицы рисков.

Максимальный элемент во втором столбце: a₃₂ = 5, значит:

r₁₂ = 5 – a₁₂ = 5 –0 = 5

r₂₂ = 5 – a₂₂ = 5 –5 = 0

r₃₂ = 5 – a₃₂ = 5 –5 = 0

Третий столбец матрицы рисков.

Максимальный элемент в третьем столбце: a₃₃ = 6, значит:

r₁₃ = 6 – a₁₃ = 6 –5 = 1

r₂₃ = 6 – a₂₃ = 6 –5 = 1

r₃₃ = 6 – a₃₃ = 6 –6 = 0

Матрица рисков представлена в таблице 2 (в каждом столбце на месте максимального элемента платежной матрицы должен стоять ноль):

			Wi
2	5	1	5
1	0	1	1
0	0	0	0

Дополним матрицу рисков рассчитанными значениями критерия W_i – в каждой строке выбираем максимальный элемент

W₁ = max{2; 5; 1} = 5

W₂ = max{1; 0; 1} = 1

W₃ = max{0; 0; 0} = 0

Найденные значения заносим в столбец (W_i) и выбираем минимальное W = min{5,1,0} = 0.

Оптимальной по данному критерию является стратегия А3 – продавать в весенние месяцы.

На основании полученных результатов (табл. 1 и 2) можно сделать следующие выводы.

1) Стратегия А1 (продавать сразу после уборки) не является оптимальной ни по одному из критериев.

2) Стратегия А2 (продавать в зимние месяцы) не является оптимальной ни по одному из критериев.

3) Стратегия А3 (продавать в весенние месяцы) является оптимальной согласно всех критериев.

4) Окончательный выбор стратегии А3.

Порядок выполнения работы

1. Использовать Excel-программу для исходных данных рассмотренного примера.

2. Получить результаты статистических игр по всем критериям и сравнить с результатами примера (должны совпадать).

3. Выполнить индивидуальное задание в соответствии с вариантом, изменив только матрицу в Excel-программе.

4. Произвести анализ полученных результатов.

5. Изменить по своему усмотрению:

• вероятности спроса;

• коэффициент пессимизма;

• коэффициент достоверности спроса.

Произвести анализ полученных результатов.

Индивидуальное задание

Предприятие может выпускать три вида продукции А₁,А₂, А₃, получая прибыль, зависящую от спроса на эту продукцию. Спрос, в свою очередь, может принимать одно из трех состояний В₁, В₂, В₃. В матрице элементы а_{i k} характеризуют прибыль, которую получает предприятие при выпуске продукции А_i и состоянии спроса В_k.

1. Варианты индивидуального задания (подставить значения элементов матрицы).

№	а11	а12	а13	а21	а22	а23	а31	а32	а33
5	2	0	5	3	5	5	4	5	6