Практическое занятие №16

Тема: Нечёткие множества

Цель работы: изучить основные операции над нечёткими множествами, научиться применять их для решения практических задач.

Теоретическая часть

Наверное, самым впечатляющим у человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в условиях неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных размышлений человека и использование их в компьютерных системах представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.

Стандартное "четкое" множество строится на основе математической конструкции, "отсеивающей" из "универсального множества" некоторую часть его элементов. За "отсев" отвечает так называемая характеристическая функция, значение которой для каждого элемента универсального множества может принимать строго одно из двух возможных значений: 1 или 0. Формального описания "характеристической функции вообще" в математических терминах не существует, о ней принято говорить естественным языком примерно так: если элемент универсального множества обладает свойством S, то характеристическая функция для этого элемента равна 1, в противном случае ее значение 0. То есть фактически любое множество определяется этим самым свойством (или набором свойств) S и объединяет некоторое количество (не обязательно конечное, счетное) элементов, обладающих свойством S. Четкость классических множеств заключается в строгой определенности значений характеристической функции  элемент или строго определенно принадлежит множеству (характеристическая функция равна 1) или строго определенно не принадлежит ему (характеристическая функция 0). И такая определенность очень долго устраивала специалистов по теоретической и прикладной математике. А теперь давайте попробуем из всей бесконечности "всего" в нашей Вселенной, в которой, очевидно, есть место и для таких объектов, как "вода" и "стаканы", сформировать множество на основе вполне понятного человеку свойства S, определенного словами "стакан воды". Стакан, до краев наполненный водой, очевидно, удовлетворяет этому свойству  и характеристическая функция для такого элемента множества будет равна единице. А какое значение должна принимать характеристическая функция, если стакан наполнен водой на две трети? А если наполовину? А если стакан наполнен водой всего на треть  он еще "стакан воды" или уже не совсем?

Этот "парадокс стакана воды" на самом деле не иллюстрирует ничего другого, кроме специфики формирования характеристической функции. Люди понимают (или умеют понимать) неформально определенные свойства вроде "стакана воды", "среднего возраста", "небольшого роста". Машинные (традиционные вычислительные) алгоритмы же, напротив, оперируют строгими значениями: "123 миллилитра", "34 года", "163 сантиметра". Именно эти отличия в свое время провоцировали модные рассуждения об ЭВМ пятого поколения на основе нечеткой логики, которым, дескать, суждено стать вычислительной основой искусственного интеллекта.

Основные определения

Нечёткое множество — понятие, расширяющее классическое понятие множества, допускающее, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0,1], а не только значения 0 или 1.

Определение: Под нечётким множеством понимается совокупность, где— универсальное множество, а—функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента нечёткому множеству.

Функция принимает значения в некотором вполне упорядоченном множестве. Множествоназывают множеством принадлежностей, часто в качествевыбирается отрезок. Если, то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.

Пример: Рассмотрим как с помощью нечеткого множества определить выражение "он еще молодой". Для наглядности приведем характеристическую функцию множества молодых людей.

Пусть E = {x1, x2, x3, x4, x5 }, M = [0,1]; A - нечеткое множество, для которого A(x1)=0,3; A(x2)=0; A(x3)=1; A(x4)=0,5; A(x5)=0,9. Тогда A можно представить в виде:

A = {0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 } или A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5, (знак "+" является операцией не сложения, а объединения) или

	x1	x2	x3	x4	x5
A =	0,3	0	1	0,5	0,9