Теоретический материал

Логика необходима в любой формальной дисциплине и состоит из правил получения обоснованного вывода (заключения). Предметом математической логики является разработка методов доказательства математических утверждений с помощью умозаключений на основе законов человеческого мышления.

Стандартными блоками формальной логики являются высказывания. Высказывание  повествовательное утверждение, которое имеет значение истинности, т. е. может быть истинным (обозначается буквой И) или ложным (обозначается Л).

Например: Земля плоская; Маша  доктор; 11 — простое число.

Высказывания обозначаются строчными или прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, …, X, Y, Z,… a, b, c,… или одной буквой с индексом – A_1, A₂,… A_n. Используя логические операции не, или, и, можно построить новые  составные высказывания, компонуя простые. Простое высказывание называется атомом, сложное молекулой. Образование новых высказываний из исходных посредством логических союзов называют логическими операциями. Истинностное значение полученных высказываний определяется только истинностным значением составляющих высказываний, а не их смыслом.

Например: (не Р) — это высказывание «земля не плоская»; (Р или Q) — «земля плоская или Маша — доктор»; (Р и Q) — «земля плоская и Маша — доктор».

Обозначим через Р высказывание «логика — забава», а через Q — «сегодня пятница». Требуется выразить каждое из следующих составных высказываний в символьной форме.

1) Логика — не забава, и сегодня пятница.

2) Сегодня не пятница, да и логика — не забава.

3) Либо логика — забава, либо сегодня пятница.

Решение: 1) (не Р) и Q, 2) (не Р) и (не Q), 3) Р или Q.

Алфавит языка логики высказываний:

Алфавитом логики высказываний называется любое непустое множество, где:

1. A,B,C,D,…  символы для обозначения высказываний;

2. 1, 0  символы, обозначающие логические константы «истина» и «ложь»;

3.  - символы логических операций;

4. (,) - скобки.

Словом в данном алфавите называется произвольная конечная последовательность символов. Слово v называется подсловом слова w, если w = vbu, для некоторых слов v и u.

Основные логические операции (связки). Таблицы истинности.

1. Конъюнкция логическое умножение.

Конъюнкцией высказываний А и В, называется высказывание  (“А и В”), которое истинно тогда, когда истинны оба эти высказывания.

2. Дизъюнкция - логическое сложение.

Дизъюнкцией высказываний А и В, называется высказывание  (“А или В”), которое истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний.

3. Импликация.

Импликацией высказываний А и В, называется высказывание  (“если А, то В”), которое ложно тогда, когда А - истинно, а В - ложно.

4. Эквиваленция (двойная импликация).

Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание  (“если и только если А, то В”), которое истинно тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

5. Отрицание. Отрицанием высказывания А, называется высказывание  (“не верно, что А”), которое истинно, когда А - ложно, и ложно, когда А- истинно.

6. Операция сильная дизъюнкция АВ (сумма по модулю 2).

Эта функция отвечает разделительному "или''. Она принимает значение ложь, если А и В одновременно истинны или ложны.

7. Операцией Шеффера (штрих Шеффера) над высказываниями А и В называется высказывание А|B (А↑В) (читается "А и В - несовместимые"), которое ложно тогда и только тогда, когда А и В оба истинны.

8. Символом Лукасевича для высказываний А и В называется высказывание АВ (читается "Ни А, ни В"), которое истинно тогда и только тогда, когда А и В оба ложны.

Чтобы уметь определять значение истинности составных высказываний, нам необходимо разобраться со смыслом логических операций, т. е. какой эффект они оказывают на истинностное значение простых высказываний. Это можно сделать с помощью таблиц истинности. Если в молекулу входят n атомов, то для них возможны 2ⁿ различных значений истинности:

		1	2	3	4	5	6	7	8
		конъюнкция	дизъюнкция	импликация	эквиваленция	отрицание	сложение по модулю 2	штрих Шеффера	стрелка Пирса
A	B				 	 ()	АВ	А|B (А↑В)	АВ
0	0	0	0	1	1	1	0	1	1
0	1	0	1	1	0	1	1	1	0
1	0	0	1	0	0	0	1	1	0
1	1	1	1	1	1	0	0	0	0

Скобки - это разделительные знаки, для определения порядка операций. Для уменьшения количества скобок используют определенные договоренности. Можно опускать скобки, придерживаясь следующего порядка операций: считается, что связка &(конъюнкция) связывает сильнее чем все другие, связка  (дизъюнкция) сильнее, чем . То есть приоритет логических операций такой: (&), , , . Все остальные связки можно выразить через приведенные.