§6. Функції багатьох змінних

Завдання 14.

В задачах варіантів 1 - 25 знайти частинні похідні та повний диференціал функції z = z(x, y).

1. . 2..

3. . 4..

5. .6.

7. .8..

9. .10..

11. .12..

13..14..

15. .16..

17. . 18..

19. .20..

21. . 22..

23. . 24..

25. .

Завдання 15. В задачах варіантів 125 обчислити за допомогою повного диференціала наближене значення заданої величини.

1. . 2.. 3..

4. . 5.. 6..

7. . 8.. 9..

10. . 11.. 12..

13. . 14.. 15..

16. . 17.. 18..

19. . 20.. 21..

22. . 23.. 24..

25. .

Завдання 16. В задачах варіантів 125 задану функцію дослідити на екстремум.

1. . 2..

3. . 4..

5. . 6..

7. . 8..

9. . 10..

11. . 12..

13. . 14..

15. . 16..

17. . 18..

19. . 20..

21. . 22..

23. . 24..

25. .

Розв’язання типового варіанта.

1. Знайти частинні похідні та повний диференціал функції

z = arctg.

► Частинна похідна функції z = z(x,y) по x визначається за правилами диференціювання функції однієї змінної, причому інші змінні вважаються постійними; аналогічно визначається частинна похідна по у, де всі змінні, крім у, вважаються постійними.

Отже,

Повний диференціал даної функції визначається за формулою

.

Отже, маємо:

.◄

2.За допомогою повного диференціала обчислити наближено .

► Розглянемо функцію і застосуємо формулу

,

Поклавши ,,;.

Врахуємо, що ; ;

; ; .

Отже, . ◄

3. Дослідити на екстремум функцію .

► Знаходимо частинні похідні першого порядку функції

; .

Для визначення стаціонарних точок згідно з необхідними умовами екстремуму, прирівнюємо до нуля ці похідні. Маємо таку систему рівнянь:

розв’язок якої ,.

Отже, дана функція має тільки одну стаціонарну точку .

Для перевірки достатніх умов екстремуму знаходимо частинні похідні другого порядку

; ;.

Як видно, частинні похідні другого порядку мають постійні значення в будь-якій точці, зокрема в точці .

Обчислимо для точки, де;;.

.

Тому що та, то в точцізадана функція має максимум.

.◄

§7. Інтегральне числення функції однієї змінної

Завдання 17.

В задачах варіантів 1 - 25 знайти невизначені інтеграли . Результати інтегрування перевірити диференціюванням.

1. а); б); в);

г); д) ;е) ;

ж) ;з) .

2. а);б); в); г); д) ;е) ;

ж) ;з) .

3. а); б); в);г) ; д) ;е) ;

ж) ;з) .

4. а); б); в);г).

д) ;е) ;ж) ;

з) .

5. а); б); в);г); д) ;е) ;ж) ;

з) .

6. а); б); в);

г); д) ;е) ;

ж) ;з) .

7. а); б);в);г).

д) ;е) ;ж) ;з) .

8. а);б); в);г) .

д) ;е) ж) ;з) .

9. а);б); в);

г); д) ;е) ;

ж) ;з) .

10. а); б);в);

г); д) ;е );

ж) ;з) .

11. а);б);в);

г); д) ;е) ;

ж) ;з) .

12. а); б);в); г).

д) ;е) ;ж) ;з) .

13. а); б);в); г).

д) ;е) ;ж) ;з) .

14. а); б);в); г).

д) ;е) ;ж) ;з) .

15. а); б);в)г).

д) ;е) ;ж) ;з) .

16. а);б); в); г);

д) ;е) ;ж) ;з)

17. а);б); в) ;

г); д) ;е) ;ж) ;

з) .

18. а); б); в);г);

д) ;е) ;ж) ;

з) .

19. а); б); в); г).

д) ;е) ;ж) ;з) .

20. а);б); в); г); д) ;е) ;

ж) ;з)

21. а); б); в);г);

д) ;е) ;ж) ;з) .

22. а); б); в); г);

д) ;е) ;ж) ;з) .

23. а); б); в);

г); д) ;е) ;

ж) ;з) .

24. а); б); в); г);

д) ;е) ;ж) ;з) .

25. а);б); в); г).

д) ;е) ;ж) ;з) .

Завдання 18.

В задачах варіантів 1 - 25 обчислити визначені інтеграли.

1. . 2.. 3..4..

5. . 6.. 7..8..

9. . 10..11..12..

13. .14.. 15..16..

17. .18.. 19.. 20..

21. .22.. 23..24..

25. .

Завдання 19.

В задачах варіантів 1-25 обчислити площу фігури, яка утворюється вказаними лініями. Накреслити ці лінії, вказати фігури, які вони утворюють.

1. y=3x² + 1; у=3х + 7.

2. y= 3 - 2x - x²; у= -2х – 1.

3. y=1/2x² - 2x + 2; у= х/2 + 4.

4. y=1/4x² - 2x + 4; у= х/2.

5. y= 1/3x²-2x + 3; у= х/3 + 1.

6. y=2x - x²; у= х – 3.

7. y= - x² + 4x - 1; у= - х – 1.

8. y= x² - 3x; у= -3х + 4.

9. y= x² - 6x+ 7; у= х + 1.

10. y= x² - 6x + 10; у= х.

11. y= - x² + 6x - 5; у= х – 5.

12. y= x²+2; у= х + 5.

13. y= x² - 6x + 7; у = - х +7.

14. y= 1/9x²; у= 1/3х + 2.

15. y= - x² + 6x - 5; у= - х + 1.

16. y= x² + 2x; у= - х + 4.

17. y=x² + 6x + 7; у= х + 7.

18. y= 1/2 x^2; у= - х + 4.

19. y= - x² - 6x - 5; у= х + 1.

20. y= x² + 4x; у= х +4.

21. y= x² + 6x + 7; у= -х + 1.

22. y=x^2; у= -х + 6.

23. y= - x² - 6x - 5; у= -х – 5.

24. y= 3x²+ 1; у= 3х + 7.

25. y= x² - 4x + 1; у= х + 1.

Завдання 20.

В задачах варіантів 1-25 обчислити об’єм тіла, утвореного при обертанні навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями

1. ;;.

2. ;;.

3. ;;.

4. ;.

5. ;;.

6. ;;.

7. ;;.

8. ;;.

9. ;;.

10. ;;.

11. ;;;.

12. ;;.

13. ;;.

14. ;;.

15. ;;.

16. ;;.

17. ;;.

18. ;;.

19. ;;.

20. ;;.

21. ;;.

22. ;;.

23. ;;.

24. ;;.

25. ;;.