Розв’язання типового варіанта.

1. Нехай А(– 4; – І; 2); В(І; 0; 2); С(– І; 4; 6); D(– 2; – 3; 8) – точки координати вершин піраміди АВСD. Необхідно: І) записати розкладання векторів ,,, за базисом,,і знайти довжини цих векторів; 2) знайти кут між векторамиі; 3) знайти проекцію векторана вектор; 4) знайти площу граніАВС; 5) Знайти об’єм піраміди АВСD.

►1)Відомо, що довільний вектор може бути розкладений за базисом,, таким чином:

де а_х, а_у, а_z – проекції вектора на координатні осі;, ,– одиничні вектори, напрямки яких збігаються з додатними напрямками осейOX,OY,OZ.

Нехай маємо точки M₁(x₁, y₁, z₁) i M₂(x₂, y₂, z₂) , тоді проекції вектора =на координатні вісі дорівнють:

a_x = x₂ – x₁; a_y = y₂ – y₁; a_z = z₂ – z₁

і вектор має вигляд

= (.

Отже, маємо

=

=

= .

Довжину вектора знаходимо за формулою

 =

Маємо

==,

==6,

==.

2) Косинус кута між векторами

=і

визначимо за формулою

cos =,

де – скалярний добуток векторіві.

Отже,

cos =.

Таким чином, шуканий кут дорівнює

.

3) Проекція вектора на векторвизначається за формулою:

₌

4) Площа грані АВС дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і. Відомо, що модуль векторного добутку двох векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах. Векторний добуток векторівівизначається за формулою:

=.

Позначимо векторний добуток ×через вектор. Тоді площа граніАВС дорівнює половині модуля вектора , тобто

S_ABC=.

=×=або

Отже,

S_ABC=(кв.од.).

5) Об’єм паралелепіпеда, побудованого на трьох некомпланарних векторах , дорівнює модулю їх мішаного добутку:

=.

Отже, мішаний добуток векторів ,,:

.

Шуканий об’єм V піраміди АВСD дорівнює одній шостій об’єму паралелепіпеда, тобто:

V=(куб.од.).◄

§3. Аналітична геометрія

Завдання 4.

В задачах варіантів 1– 25 дани координати вершин трикутника АВС. Потрібно знайти: 1) рівняння сторін АВ і АС та їх кутові коефі-цієнти; 2) рівняння медіан, провдених з вершин А і В та точку їх перетинання; 3) кут А в радіанах з точністю до двох знаків; 4) рівняння висоти СТ, яка проведена з вершини С; 5) побудувати трикутник АВС, медіани, висоту в системі координат .

1. А (– 4, 2); В (4, – 4); С (6, 5).

2. А (–2, 1); В (6, –5); С ( 8, 4).

3. А (–3, –3); В (5, –9); С (7, 0).

4. А (2, 2); В (10, –4); С (12, 5).

5. А (4, –1); В (12, –7); С (14, 2).

6. А (–6, –2); В (2, –8); С (4, 1).

7, А (–8, –4); В (0, –10); С (2, –1).

8. А (–5, 5); В ( 3, –1); С (5, 8).

9. А (6, 2); В (14, –4); С (16, 5).

10. А (–4, –1); В (4, –7); С (6, 2).

11. А (–3, 0); В (5, –6); С ( 7, 3).

12. А (0, 5); В (8, –1); С (10, 8).

13. А (2, 6); В (10, 0); С (12, 9).

14. А (5, 3); В (13, –3); С (15, 6).

15. А (–10, 5); В (–2, –1); С (0, 8).

16. А (5, 5); В (13, –1); С (15, 8).

17. А (4, 6); В (12,0); С (14, 9).

18. А (1, 6); В (9, 0); С (11, 9).

19. А (–5, –1); В (3, –7); С (5, 2).

20. А (0, 1); В ( 8, –5); С (10, 4).

21. А (3, –1); В (11, –7); С (13, 2).

22. А (2, 6); В (10, 0); С (12, 9).

23. А (6, 7); В (14, 1); С (16, 10).

24. А (3, 0); В (11, –6); С (13, 3).

25. А (4, 4); В (12, –2); С (14, 7).

Завдання 5.

В задачах варіантів 1–25даникоординати точок А(х_1, у₁), В(х₂, у₂) та радіус колаR, центр якого знаходиться в початку координат. Необхідно: а) скласти канонічне рівняння еліпса з центром симетрії в точці О (0,0), який проходить через точки А і В; б) знайти півосі, фокуси та ексцентрисітет цього еліпса:в) знайти усі точки перетину еліпса та заданого кола; г) побудувати в системі координат хОу еліпс та коло.

1. А(8 , -3),	В(4 , ),	R =.
2. А(,-4),	В(3 ,),	R =.
3. А(, 2),	В(-1, ),	R =.
4. А(1, -),	В(, 2),	R =.
5. А(-4, ),	В(, 2),	R =.
6. А(3, ),	В(, -2),	R =,
7. А(2, ),	В(, 1),	R =.
8. А(4, ),	В(,),	R =.
9. А(,),	В(, 4),	R =.
10. А(,),	В(, -1),	R =.
11. А(2 , ),	В(,),	R =.
12. А(,),	В(3 ,),	R =.

13. ;; .

14. ;; .

15. ;; .

16. ;; .

17. ;; .

18. ;; .

19. ;; .

20. ;; .

21. ;; .

22. ;; .

23. ;; .

24. ;; .

25. ;; .

Завдання 6.

В задачах варіантів 1 – 25 дани координати точок А(х_1, у₁), В(х₂,у₂) та радіус кола R, центр якого знаходиться в точці О(0,0). Потрібно: а) скласти канонічне рівняння гіперболи з центром симетрії в точці О(0, 0), яка проходить через точки А і В, якщо фокуси гіперболи розташовані на осі абсцис; б) знайти півосі, фокуси, ексцентрисітет та рівняння асимптот цієї гіперболи; в) знайти усі точки перетину гіперболи та кола; г) побудувати в системі координат хОу гіперболу, її асімптоти та коло.

1. А(6,);	В(, 3);	R =.
2. А(,–1);	В(–4, );	R =.
3. А(10, 5);	В(–8, );	R =.
4. А(16,);	В(,–4);	R =12.
5. А(,-1)	В(4, 2);	R =.
6. А(,-2)	В(,);	R =.
7. А(,-10);	В(–8, );	R =.
8. А(,-8);	В(,4);	R =.
9. А(,-4);	В(3, );	R =10.
10. А(–6, );	В(, 6);	R =.

11. А(,3);В(4,);R =.

12. А(, 2);	В(, );	R = 4.
13. А(, 3);	В(,);	R = 6.

14. ;; .

15. ;; .

16. ;; .

17. ;; .

18. ;; .

19. ;; .

20. ;; .

21. ;; .

22. ;; .

23. ;; .

24. ;; .

25. ;; .

Завдання 7.

В задачах варіантів 125 задано координати точки і рівняння прямої. Написати рівняння лінії, кожна точка якої знаходиться на однаковій відстані від точкита від заданої прямої. Отримане рівняння привести до простішого вигляду.

1. ;. 2.;.

3. ;. 4.;.

5. ;. 6.;.

7. ;. 8.;.

9. ;. 10.;.

11. ;. 12.;.

13. ;. 14.;.

15. ;. 16.;.

17. ;. 18.;.

19. ;. 20.;.

21. ;. 22.;.

23. ;. 24.;.

25. ;.

Завдання 8.

В задачах варіантів 1–25 дани координати точок А, В, С, М. Потрібно знайти: 1) рівняння площини Q, яка проходить через точки А, В, С; 2) канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку М, перпендикулярно до площини Q; 3) координати точок перетину одержаної прямої з площиною Q та з координатними площинами , , .

1. A ( 4, –7, 1); B ( 3, –5, 1); C ( 2, 0, 4); M (–2, –4, 4).

2. А (–5, 3, –7); В ( 1, 1, 3); С (–1, 4, 2); М ( 3, 3, 3).

3. А ( 2, –1, 3); В (–1, 2, 0); С (1, –4, –2); М (1, 2, –2).

4. А (–3, 4, –2); В (1, –3, –1); С (–1, –2, –4); М (3, 2, –4).

5. А (1, 2, 4); В (–5, 3, 7); С (4, –2, 6); М(–2, –3, –1).

6. А (–2, 1, –3); В (–4, 2, –6); С (3, –5, 1); М(6, 5, –7).

7. А (–1, 4, 2); В (3, –2, 4); С (5, –3, 7); М (–2, –5, 3).

8. А (–3, 1, 2); В (0, –1, 4); С (1, –3, 7); М (–1, –5, 7).

9. А (2, 5, 0); В (1, –3, 2); С( 0, 2, 1); М (2, 3, 5).

10. А (1, 6, 4); В (2, 5, 5); С (6, –3, 5); М (3, –1, 7).

11. А (4, 1, 5); В (1, 4, 2); С (3, –2, 0); М ( 3, 4, 0).

12. А (–2, 5, –1); В (2, –2, 0); С (0, –1, –3); М (4, 3, –3).

13. А (2, 3, 5); В (–4, 4, –6); С (5, –1, 7); М (–1, –2, 0).

14. А (–4, 3, –7); В ( 2, 1, 3); С (0, 4, 2); М (4, 3, 3).

15. А (2, 3, 5); В (3, –1, 3); С ( 2, –4, –2); М (–3, –1, 3).

16. А (0, 2, –4); В (2, –2, –4); С (7, –1, 7); М (–1, 2, 6).

17. А (1, -4, 0); В ( -1, 0, 1); С ( 2, 5, 5); М ( 5, 6, -5).

18. А (–1, 0, 2); В (2, 2, 3); С (–2, –3, –2); М ( 4, –1, 1).

19. А (1, –2, –2); В (–1, 2, –1); С (2, 7, 3); М (5, 8, –7).

20. А (4, 2, 0); В ( 6, –2, –1); С (–3, 3, –3); М ( 3, 3, –3).

21. А (–3, 3, –4); В ( 2, 10, 2); С ( 4, 2, –1); М (–3, 1, 7).

22. А ( 0, 3, –7); В (6, 1, 3); С (4, 4, 2); М ( 8, 3, 3).

23. А ( 4, 0, 1); В (3, 2, 1); С (2, 7, 4); М (–2, 3, 4).

24. А (1, 3, 1); В (7, –5, 5); С (–1, 5, –1); М (10, –2, 2).

25. А ( 2, 2, –4); В (4, –2, –4); С (9, –1, 7); М (1, 2, 6).