Відповідне однорідне рівняння
має характеристичне
рівняння
,
корені якого дійсні і рівні, тобто
.
Загальний розв’язок цього рівняння
.
Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді
.
Послідовно
диференціюючи 
,
знаходимо
та
:
;
.
Підставляючи , ,в дане рівняння, маємо
або
.
Прирівнюючи
коефіцієнти при
і
правої і лівої частин рівняння, отримаємо
систему двох рівнянь відносно шуканих
коефіцієнтівА
і В.
Маємо:
Розв’язуючи систему, знаходимо
;
.
Отже,
.
Звідси загальний розв’язок даного рівняння
.
Щоб знайти частинний розв’язок,
що задовольняє початковим умовам,
попередньо знаходимо похідну
.
За умовою
;
,
тоді
,
звідки
;
,
звідки
.
Підставляючи отримані значення
довільних сталих
і
в загальний розв’язок, маємо
шуканий частинний розв’язок.
◄
§9. Ряди
Завдання 23. В задачах варіантів 125 дослідити на збіжність числові ряди.
1.
. 2.
. 3.
.
4.
. 5.
. 6.
.
7.
. 8.
. 9.
.
10.
. 11.
. 12.
.
13.
. 14.
. 15.
.
16.
. 17.
. 18.
.
19.
. 20.
. 21.
.
22.
. 23.
. 24.
.
25.
.
Завдання 24. В задачах варіантів 125 дослідити на збіжність знакопереміжні ряди
1.
. 2.
. 3.
.
4.
. 5.
. 6.
.
7.
. 8.
. 9.
.
10.
. 11.
. 12.
.
13.
. 14.
. 15.
.
16.
. 17.
. 18.
.
19.
. 20.
. 21.
.
22.
. 23.
. 24.
.
25.
.
Завдання 25.
В задачах варіантів 1 - 25 знайти інтервал збіжності степеневого ряду, при цьому з`ясувати питання про його збіжність на кінцях інтервалу.
1.
. 2.
. 3.
.
4.
. 5.
. 6.
.
.7.
. 8.
. 9.
.
10.
. 11.
. 12.
.
13.
. 14.
. 15.
.
16.
. 17.
. 18.
.
19.
. 20.
. 21.
.
22.
. 23.
. 24.
.
25.
.
Завдання 26.
В задачах варіантів 125 обчислити визначний інтеграл з точністю до 0,001 шляхом попереднього розкладання підінтегральної функції у степеневий ряд.
1.
. 2.
. 3.
.
4.
. 5.
. 6.
.
7.
. 8.
. 9.
.
10.
. 11.
. 12.
.
13.
. 14.
. 15.
.
16.
. 17.
. 18.
.
19.
. 20.
. 21.
.
22.
. 23.
. 24.
.
25.
.
Завдання 27.
В задачах варіантів 125 обчислити наближене значення заданої величини з точністю до 0,0001, використовуючи відомі розклади відповідних функцій в ряд Маклорена.
1.
. 2.
. 3.
. 4.
.
5.
. 6.
. 7.
. 8.
.
9.
. 10.
. 11.
. 12.
.
13.
. 14.
. 15.
. 16.
.
17.
. 18.
. 19.
. 20.
.
21.
. 22.
. 23.
. 24.
.
25.
.
Розв’язання типового варіанта
1. Знайти область збіжності степеневого ряду
► Даний степеневий ряд можна записати так:
(11.20)
Застосуємо ознаку Даламбера:
.
Як видно, ряд буде збігатись для тих значень х, для яких
<1,
або
.
Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу.
При x=
,
маємо числовий ряд:
. (11.21)
Ряд (11.21) є знакопереміжним. У силу ознаки Лейбніца даний ряд збігається, бо
1)
>
>
>
>…2)
.
При x=
маємо числовий ряд
...
. (11.22)
Ряд
(11.22) розбігається (для цього достатньо
порівняти його з гармонічним рядом
.
Отже,
значення x =
не належить області збіжності даного
ряду.
Таким
чином, 
область збіжності досліджуваного ряду.
2.
Обчислити визначений інтеграл
з точністю до 0,001.
► Обчислимо даний інтеграл наближено за допомогою рядів. Відомо, що
.
Тоді
;
.
Маємо
.
Отримано знакопереміжний числовий ряд, який задовольняє умовам теореми Лейбниця. Оскільки четвертий член цього ряду за абсолютним значенням менше ніж 0,001, достатньо обмежитись сумою перших трьох членів. Отже
.
◄
3. Обчислити
наближено
з точністю до 0,0001.
► Скористаємось формулою
;
який є збіжним при
.
Запишемо заданий вираз у вигляді
.
Для функції
маємо наступний розклад
Підставляючи замість х
число
,
отримає числовий ряд
Маємо знакопереміжний числовий ряд. Щоб обчислити значення функції з точністю 0,0001, необхідно, щоб перший член, що відкидається, був менш, ніж 0,0001. Неважко обчислити, що
.
Отже,
.