3. Использование деревьев в задачах поиска

Обычные деревья не дают выигрыша при хранении множества значений. При поиске элемента все равно необходимо просмотреть все дерево. Однако можно организовать хранение элементов в дереве так, чтобы при поиске элемента достаточно было просмотреть лишь часть дерева. Для этого надо ввести следующее требование упорядоченности дерева.

Двоичное дерево упорядочено, если для любой вершины x справедливо такое свойство: все элементы, хранимые в левом поддереве, меньше элемента, хранимого в x, а все элементы, хранимые в правом поддереве, больше элемента, хранимого в x.

Важное свойство упорядоченного дерева: все элементы его различны. Если в дереве встречаются одинаковые элементы, то такое дерево является частично упорядоченным.

В дальнейшем будет идти речь только о двоичных упорядоченных деревьях, опуская слово «упорядоченный».

Итак, основными операциями, производимыми с упорядоченным деревом, являются:

– поиск вершины;

– добавление вершины;

– удаление вершины;

– очистка дерева.

Алгоритм поиска можно записать в рекурсивном виде. Если искомое значение Item меньше Tree^.Data, то поиск продолжается в левом поддереве, если равен – поиск считается успешным, если больше – поиск продолжается в правом поддереве; поиск считается неудачным, если достигли пустого поддерева, а элемент найден не был.

function Find_Tree(Item: TypeElement; Tree: PTree): boolean;

{Поиск вершины дерева, содержащую значение Item}

var

Current: PTree;

begin

Find_Tree := False;

if Tree <> nil then begin {Дерево не пустое}

Current := Tree;

if Current^.Data = Item then {Вершина найдена}

Find_Tree := True

else

if Current^.Data > Item then {Ищем в левом поддереве}

Find_Tree := Find_Tree(Item, Current^.Left)

else {Ищем в правом поддереве}

Find_Tree := Find_Tree(Item, Current^.Right);

end;

end;

Алгоритма добавления элемента в дерево. Сначала надо найти вершину, к которой в качестве потомка необходимо добавить новую вершину (фактически произвести поиск), а затем присоединить к найденной новую вершину, содержащую значение Item.

Алгоритм удаления элемента будет несколько сложнее. При удалении может случиться, что удаляемый элемент находится не в листе, т. е. вершина имеет ссылки на реально существующие поддеревья. Эти поддеревья терять нельзя, а присоединить два поддерева на одно освободившееся после удаления место невозможно. Поэтому необходимо поместить на освободившееся место либо самый правый элемент из левого поддерева, либо самый левый из правого поддерева.

Временная сложность этих алгоритмов (она одинакова для этих алгоритмов, так как в их основе лежит поиск) оценим для наилучшего и наихудшего случая. В лучшем случае, т. е. случае полного двоичного дерева, получаем сложность Omin(log n). В худшем случае дерево может выродиться в список. Такое может произойти, например, при добавлении элементов в порядке возрастания. При работе со списком в среднем придется просмотреть половину списка. Это даст сложность Omax(n).

В алгоритме очистки дерева применяется обратный метод обхода дерева. Использование обратного метода обхода гарантирует, что будут сначала посещены и удалены все потомки предка, прежде чем удалится сам предок.