Лекция № 10

Тема: «Рекурсивная реализация алгоритмов»

План лекции

1. Рекурсивные подпрограммы

2. Косвенная рекурсия и опережающее описание

3. Рекурсивные структуры

4. Рекурсивные структуры

1. Рекурсивные подпрограммы

По правилам языка Паскаль, задающим область действия определений, тело подпрограммы может содержать вызовы подпрограмм, заголовки которых записаны выше в тексте программы. Отсюда вытекает, что подпрограмма может содержать вызовы самой себя – рекурсивные вызовы. Выполнение такого вызова ничем не отличается от выполнения вызова любой другой подпрограммы. Подпрограмма с рекурсивными вызовами называется рекурсивной.

Пример 6

Напишем рекурсивную функцию f по такому определению функции факториал: n!=n*(n-1)! при n>1, 1!=1 (считается, что n>0).

function f(n:integer):integer;

begin

if n=1 then f:=1

else f:=n*f(n-1)

end;

При имитации выполнения вызовов рекурсивных подпрограмм их локальные переменные обозначают следующим образом. Если подпрограмма F вызвана из программы, то её локальная переменная Х обозначается F.X. При выполнении каждого рекурсивного вызова подпрограммы F, указанного в её теле, появляется новая переменная Х. Она обозначается добавлением префикса F. к обозначению переменной Х в предыдущем вызове: F.F.X, F.F.F.X и т.п.

Пример 7

Имитацию выполнения вызова f(2) функции из примера 6 можно представить в виде таблицы:

Что выполняется	Состояние памяти
Вызов f(2)	f.n f.f
	2 ?
Вычисление n=1: false	2 ?
начало f:=n*f(1)	2 ?
Вызов f(1)	2 ?	f.f.n f.f.f
	2 ?	1 ?
Вычисление n=1: true	2 ?	1 ?
f:=1	2 ?	1 1
Возвращение из вызова f(1)	2 ?
Окончание f:=n*f(1)	2 2

Пример 8

Наибольший общий делитель НОД(a, b) натуральных чисел a и b можно вычислить рекурсивно на основании таких равенств:

• если b=0, то НОД(a, b)=a;

• если а mod b=0, то НОД(a, b)=b;

• если а mod b>0, то НОД(a, b)= НОД(b, а mod b).

Этому определению соответствует следующая рекурсивная функция вычисления НОД:

function GCD(a, b:integer):integer;

(Greatest Common Divisor – Наибольший Общий Делитель)

begin

if b=0 then GCD:=a else

if a mod b=0 then GCD:=b

else GCD:=GCD(b, a mod b)

end;

С рекурсивными подпрограммами связаны два важных понятия – глубина рекурсии и общее количество вызовов, порожденных вызовом рекурсивной подпрограммы.

Рассмотрим первое из них. В примере 6 приведена функция вычисления n!. Очевидно, что её вызов с аргументом, например 4, заканчивается лишь по окончании вызова с аргументом 3, а тот, в свою очередь, после вызова с аргументом 2 и т.д. Такие вызовы называются вложенными. Таким образом, вызов с аргументом 4 порождает ещё три вложенных вызова. Вообще, при вызове этой функции с аргументом n порождается ещё n-1 вызов, и общее количество незаконченных вызовов достигает n. Таким образом, глубиной рекурсии вызова подпрограммы называется максимальное количество незаконченных рекурсивных вызовов при выполнении её вызова.

При выполнении вызова с глубиной рекурсии т одновременно существует т экземпляров локальной памяти. Каждый экземпляр имеет определённый размер, и если глубина будет чересчур большой, то автоматической памяти, предоставленной процессу выполнения программы, может не хватить.

Второе понятие можно назвать общим количеством вложенных вызовов, порождённых вызовом рекурсивной подпрограммы. Это количество влияет на время выполнения вызова.

Пример 9

По свойствам треугольника Паскаля, биномиальный коэффициент C(m, n)=1 при т<1 или n=0, или n=m; в противном случае C(m, n)= C(m­-1, n-1)+C(m-1, n).

В соответствии с этим равенством напишем рекурсивную функцию вычисления биномиального коэффициента C(m, n) по m, n, где 0<n<m:

function C(m, n:integer):integer;

begin

if (m<=1) or (n=0) or (n=m) then C:=1

else C:=C(m-1, n-1)+C(m-1, n)

end;

Как видим, каждый вызов, в котором значения аргументов m>1, 0<n<m, порождает два вложенных вызова. В результате происходит повторное вычисление одних и тех же величин. Например, выполнение вызова с аргументом (5,2) ведёт к тому, что вызов с аргументами (3,1) выполняется дважды, вызовы с аргументами (2,1), (1,0) и (1,1) – трижды, а общее количество вложенных вызовов достигает 18.

Нетрудно понять, что чем больше т и чем ближе n к т/2, тем большим будет общее количество вложенных вызовов. Мы не будем точно определять его зависимость от аргументов. Скажем лишь, что при n=m div 2 или n=m div 2+1 оно больше, чем 2^т/2. Например, при т=60 это 2³⁰, или примерно 10⁹. Если даже предположить, что за секунду можно выполнить 10⁶ вызовов, то нужно больше 1000 секунд, т.е. более четверти часа. Однако нетрудно написать рекурсивную функцию, вызов которой с аргументом т порождает не более т/2 вложенных вызовов.

Таким образом, употребление рекурсивных подпрограмм требует осторожности и умения оценить возможную глубину рекурсии и общее количество вызовов. Не всегда стоит писать рекурсивные подпрограммы непосредственно по рекурсивному определению. По крайней мере, для вычисления биномиальных коэффициентов вообще лучше воспользоваться циклом. Дело в том, что выполнение каждого вызова подпрограммы требует дополнительных действий компьютера. Поэтому циклический вариант описания вычислений выполняется, как правило, быстрее рекурсивного. Также не следует употреблять рекурсию для вычисления элементов рекуррентных последовательностей. При большой глубине рекурсии это вообще может привести к исчерпанию автоматической памяти и аварийному завершению программы.