1.2. Свойства линейного пространства

Непосредственно из аксиом линейного пространства можно получить ряд простейших свойств.

Свойство 1.1. Любое линейное пространство имеет только один нулевой вектор.

Доказательство: В аксиоме в) линейного пространства не утверждается, что нулевой вектор должен быть единственным. Но из аксиом а) и в) в совокупности это вытекает. Пусть существуют два нулевых вектора 0 и 0'. Тогда

0 =

аксиома в)

= 0 + 0' =

аксиома а)

= 0' + 0 =

аксиома в)

=0'

Здесь в роли нулевого элемента сначала выступает вектор 0', а затем 0. Видим, что векторы 0 и 0' совпадают.

Свойство 1.2. Каждый вектор линейного пространства имеет только один противоположный вектор.

Доказательство: Пусть для вектора существуют два противоположных вектора и Согласно аксиоме г) линейного пространства это означает, что и . Рассмотрим двойную сумму ' элементов линейного пространства. Согласно аксиоме б) эта сумма не зависит от порядка выполнения двух операций сложения. Меняя порядок сложения, получаем:

аксиома в)

=

аксиома а)	=
аксиома а)	=
аксиома в)	=

Свойство 1.3. Если вектор противоположен вектору то вектор противоположен вектору

Доказательство: Утверждение опирается на коммутативность сложения. Дей­ствительно,

« противоположен » ,

« противоположен » .

Справа стоят эквивалентные равенства (в силу аксиомы а)). Значит, и утверждения слева равносильны.

Свойство 1.4. Для любых двух векторов и уравнение относительно имеет решение, и притом единственное.

Существование: Решением уравнения является вектор , так как

.

Единственность: Пусть - какое-либо решение указанного уравнения, т.е. выполнено равенство . Прибавив к обеим частям этого равенства вектор , получим , откуда . Видим, что вектор совпал с указанным выше решением . Значит, других решений нет.

Последнее свойство позволяет ввести еще одну операцию в линейном пространстве, которая является противоположной cложению. Разностью двух векторов называют вектор , являющийся решением уравнения (вспомним, что разностью двух чисел называют такое число, которое в сумме с вычитаемым а дает уменьшаемое ). Из доказательства свойства 1.4 вытекает, что .

Свойство 1.5. Произведение произвольного элемента линейного пространства на число 0 равно нулевому вектору:

Свойство 1.6. Вектор, противоположный данному вектору , равен произведению на число : .

Свойство 1.7. Произведение нулевого вектора на любое число есть нулевой вектор: .

Вопросы и задачи

1.1. Может ли линейное пространство состоять из:

а) двух элементов; б) одного элемента; в) 100 элементов?

1.2. Выясните, образует ли линейное пространство:

а) множество всех векторов данной плоскости, не параллельных данной прямой, относительно линейных операций над векторами;

б) множество всех векторов плоскости с началом в начале системы координат, расположенных в правой полуплоскости, относительно обычных операций сложения и умножения векторов;

в) множество кососимметрических матриц третьего порядка относительно операции сложения матриц и умножения матрицы на число;

г) множество функций вида , относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число;

д) множество многочленов степени п относительно обычных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число.

1.3. Пусть множество М состоит из одного элемента . Определим операции сложения и умножения на действительное число соответственно равенствами: и Является ли М линейным пространством?

1.4. Предположим, что множество М состоит из всевозможных упорядоченных пар действительных чисел . Пусть на этом множестве заданы следующие операции: а) если , , то ; б) если и , то . Является ли М линейным пространством?

1.5. Является ли линейным пространством множество всех действительных чисел, если операции сложения ⊕ и умножения ⊙ на число ввести следующим образом: , ?

1.6. Докажите, что множество матриц-столбцов высоты п образует линейное пространство относительно матричных операций сложения и умножения.