ФИЗИКА 3 семестр (пиздатые шпоры) / 1

Билет 17

1.Уравнение Шредингера для атома водорода. Квантовые числа и их физический смысл.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze(для атома водорода Z=1)

где r-расстояние между электроном и ядром

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией ψ, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера, учитывающие значение U(r):

m-масса электрона, Е- полная энергия электрона в атоме.

В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера удовлетворяют собственные функции ψnlm­(r,θ,φ), определяемые 3 квантовыми числами: главным n,орбитальным l и магнитным ml. Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения n=1,2,3….Орбитальное квантовое число l , при заданном n принимает значения l=0,1,…,(n-1) т.е. всего n значений и определяет момент импульса электрона в атоме. Магнитное квантовое число ml, при заданном l может принимать значения ml=0,±1,±2,…,±l, т.е. всего 2l+1 значений. Т.о. магнитное квантовое число определяет проекцию момента импульса на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l+1 ориентаций. Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число ml характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.

2. Эффект Холла в полупроводниках, его практическое применение

Эффект Холла. Если металлическую пластинку, вдоль которой течет постоянный электрический ток, поместить в перпендикулярное к ней магнитное поле, то между параллельными току и полю гранями возникает разность потенциалов .

Величина ее определяется выражением UH = RbjB, где b –ширина пластинки, j – плотность тока, B – магнитная индукция поля, R – разный для разных металлов коэффициент пропорциональности, получившей название постоянной Холла.

В полупроводниках. По знаку эффекта Холла в полупроводниках можно судить о принадлежности полупроводника к n или p типу.

На рисунке сопоставлен эффект Холла для образцов с положительными и отрицательными носителями. Направление силы Лоренца изменяется на противоположное как при изменении направления движения заряда, так и при изменении его знака. Следовательно, при одинаковом направлении тока сила Лоренца, действующая на положительные и отрицательные носители, имеет одинаковое направление. Поэтому в случае положительных носителей потенциал верхней (на рисунке) грани выше, чем нижней, а в случае отрицательных носителей – ниже. Таким образом определив знак холловской разности потенциалов, можно установить знак носителей тока.

Билет 18

2.Электрон в периодическом поле кристалла. Образование энергетических зон. Энергетический спектр электронов в модели Кронинга-Пенни.

В основе зонной теории лежит так называемое адиабатическое приближение. Квантово-механическая система разделяется на тяжелые и легкие частицы- ядра и электроны. Поскольку массы и скорости этих частиц значительно различаются, можно считать. Что движение электронов происходит в поле неподвижных ядер, а медленно движущиеся ядра находятся в усредненном поле всех электронов. Принимая, что ядра в узлах кристаллической решетки находятся неподвижны, движение электрона рассматривается в постоянном периодическом поле ядер.

Далее используем приближение самосогласованного поля. Взаимодействие данного электрона со всеми другими заменяется действием на него стационарного эл.поля, обладающего периодичностью кристалл.решетки. Это поле создается усредненным в пространстве зарядом всех других электронов и всех ядер. Пока атомы изолированы, т.е. находятся друг от друга на макроскопических расстояниях, они имеют совпадающие схемы энергетических уровней. (см.рис). По мере сжатия нашей модели до кристал.решетки, т.е. когда расстояния между атомами станут равными межатомным, взаимодействие между атомами приводит к тому, что энергетические уровни атомов смещаются, расщепляются и расширяются, образуется зонный энергетический спектр.

Образование зонного энергетического спектра в кристалле является квантово-механическим дефектом и вытекает из соотношения неопределенностей. В кристалле валентные электроны атомов, связанные слабее с ядрами, чем внутренние электроны, могут переходить от атома к атому сквозь потенциальные барьеры, разделяющие атомы, т.е. перемещаться без изменения потенциальной энергии (туннельный эффект).

Энергия внешних может принимать значения в пределах закрашенных областей (см.рис), называемых разрешенными энергетическими зонами. Разрешенные энергетические зоны разделяются зонами запрещенных значений энергии, называемые запрещенными энергетическими зонами.

Билет №19.

1.Орбитальный, спиновый и полный угловой и магнитный момент электрона.

Электрон обладает собственным моментом импульса M_S, который называется спином. Его величина определяется по общим законам квантовой механики: M_S=_h[S(S+1)]=_h[(1/2)*(3/2)]=(1/2)_h3, M_l=_h[l(l+1)] – орбитальный момент. Проекция может принимать квантовые значения, отличающиеся друг от друга наh. M_Sz=m_Sh, (m_s=S), M_lz=m_lh. Чтобы найти значение собственного магнитного момента умножим M_s на отношение _s к M_s, _s – собственный магнитный момент:

_s=-eM_s/m_ec=-(е_h/m_ec)[S(S+1)]=-_Б3, _Б – Магнетон Бора.

Знак (-) потому что M_s и _s направлены в разные стороны. Момент Электрона слагается из 2-х: орбитального M_l и спинового M_s. Это сложение осуществляется по тем же квантовым законам, по которым складываются орбитальные моменты разных электронов: Мj=_h[j(j+1)], j – квантовое число полного момента импульса.

2.Стационарные состояния, их временная зависимость. Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Стационарные состояния – это состояния с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, т.е. функция U=U(x,y,z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. Уравнение Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выражается множителем e^-iωt=e^-i(E/ħ)t, так что Ψ(x,y,z,t)=ψ(x,y,z)e^-i(E/ħ)t, где Е- полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя это выражение в уравнение Шредингера( –ħ²/2m-ΔΨ+U(x,y,z,t)Ψ=iħ(∂Ψ/∂t), где ħ=h/(2π), m –масса частицы, i-мнимая единица, U-потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется

Δ-оператор Лапласа(ΔΨ=∂²Ψ/∂x²+∂²Ψ/∂y²+∂²Ψ/∂z²),Ψ(x,y,z,t)-искомая волновая функция частицы) получим:

разделив на общий множитель e^-i(E/ħ)t и преобразовав придем к уравнению, определяющему функцию ψ

Δψ+(2m/ħ²)(E-U)ψ=0-уравнение Шредингера для стационарных состояний. Это уравнение имеет бесчисленное количество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбираются решения, имеющие физич.смысл. Условия: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Т.о. реальный физич.смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями ψ .

Билет 21.

1.Предельный переход квантовых статических распределений Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна в классическое распределение Максвелла-Больцмана.

Параметр вырождения.

1) Распределение Ф-Д: f_Ф=1/(exp[E-E_F/kT]+1).

2) распределение Б-Э: f_Б=1/(exp[E-E_F/kT]-1).

3) Распределение М-Б: f=exp[-E/kT].

Функции распределения в классической и квантовых статиках, введенные как среднее число частиц в одном состоянии, могут быть выражены единой формулой: f=1/(exp[E-E_F/kT]+). Для Ф-Д: =1, для Б-Э: =-1, для М-Б: =0 E_F=0. K – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура, E_F – энергия Ферми, max E уe ферми-газа при T=0К. Параметр вырождения: A=exp(/kT). При А<<1 распределение Б-Э и Ф-Д переходят в классическое распределение М-Б.

2.Условия возможности одновременного измерения разных величин. Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Если коммутатор [A,B]не равен нулю, то невозможно одновременно измерить величины. ([A,B]=AB-BA)

Гейзенберг предположил, что невозможно определить точно положение и импульс. Неопределенность положения х и р_х удовлетворяют соотношению

Δx·p_x≥ħ/2

Δy·p_y≥ħ/2

Δz·p_z≥ħ/2 Обозначив канонически сопряженные величины буквами А и В получим ΔА·ΔВ≥ħ/2. Производные неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величина меньше постоянной Планка ħ. Энергия и время тоже канонически сопряженные величины ΔЕ·Δt.≥ħ

Билет №20.

1. Собственные механический и магнитный моменты электрона. Опыт Штерна и Герлаха

Электрон обладает собственным моментом импульса , не связанным с движ. э-на в пр-ве. Этот собственный момент – спин. Спин характеризует внутр. св-во э-на подобно массе и заряду. , где s – спиновое квантовое число, , . Электрон наряду с собств. мех. моментом облад. собств. магнитным моментом . Причем ,тогда

-магнетон Бора (единица магнитного момента) .

Опыт Штерны и Герлаха. Пучок атомов пропускается через сильно неоднородное поперечное магнитное поле а). Неоднородность достигалась с помощью спец. формы полюсных наконечников б). Далее пучок атомов попадал на фотопластинку Р и оставлял на ней след. Если атомы обладают магнитным моментом, то на них будет действовать сила, пр-я ктр. -пр-я магнитного момента атома. При малых

необх. обеспечить дост. большую неоднородность поля, т.е . в отсутствие магн. поля след пучка на Р имел вид полоски z=0. При включении магнитного поля наблюдалось расщепление пучка в), что являлось следствием квантования пр-ии . Обнаружилось также, что для разных атомов число компонент, на ктр. расщеплялся пучок, было то четным, то нечетным. Нечетно – у атомов облад. только орбитальным мех. моментом , магн. поле снимает вырождение по L и число компонент (значений ) ,будет равно т.е. нечетным. Если же момент = сумме орбитального и спинового, т.е. определяется кв. числом J , то число компонент будет равно 2J+1, и в зав-ти от того, полуцелым или целым будет J , число компонент будет четным или нечетным.

2. Контактные явления в полупроводниках. P-n переход, его вольт-амперная характеристика.

Контактные явления в полупроводниках.

Если привести два разных полупроводника в соприкосновение, между ними возникает разность потенциалов, которая называется контактной. В результате в окружающем пространстве возникает электрическое поле. Контактная разность потенциалов обусловлена тем, что при соприкосновении поверхностей часть электронов переходит из одного полупроводника в другой.

Внешняя контактная разность потенциалов: ;

Внутренняя разность потенциалов: .

p-n переход, его вольтамперная характеристика.

p-n переход – тонкий слой на границе между двумя областями одного и того же кристалла, отличающимися типом примесной проводимости.

В р-области основные носители тока – дырки (акцепторы становятся отрицательными ионами). В n-области – электроны, отданные донорами в зону проводимости.

Диффундируя во встречных направлениях через пограничный слой, дырки и электроны рекомбинируют друг с другом.→ меньше носителей и большое сопротивление p-n-перехода. Одновременно на границе между областями возникает двойной электрический слой, образованный отрицательными ионами акцепторной примеси, заряд которых не компенсируется дырками, и положительными ионами донорной примеси, заряд которых теперь не компенсируется электронами. Электрическое поле в этом слое направлено так, что противодействует дальнейшему переходу через слой основных носителей. Равновесие достигается при такой высоте потенциального барьера, при которой уровни Ферми обеих областей располагаются на одинаковой высоте.

В направлении от p-области к n-области p-n-переход пропускает ток, сила которого быстро нарастает при увеличении приложенного напряжения (прямое направление).

В обратном направлении p-n-переход обладает гораздо большим сопротивлением, чем в прямом. Поле, возникающее в кристалле при наложении обратного напряжения, «оттягивает» основные носители о границы между областями, что приводит к возрастанию ширины переходного слоя, обедненного носителями.

ВАХ p-n-перехода

Билет 22

1. Статистика Ферми-Дирака. Функция распределения Ф-Д. Вырожденный электронный газ. Энергия Ферми.

Частицы с полуцелым спином называются фермионами. Системы фермионов описываются квантовой статистикой Ф-Д. Фермионы подчиняются правилу Паули: в данном квантовом состоянии системы фермионов не может находиться более 1-й частицы. Ф-ции распределения Ф-Д называются средняя «заселенность» фермионами состояний с данной энергией: f_Ф=N(W_i)/g_i, где N(W_i) – число частиц с энергией в интервале от W_i до W_i+W_i, g_i – число квантовых состояний в этом интервале энергии. Решение задачи о наиболее вероятном распределении фермионов: fФ=1/(exp[(W_i-)/kT]+1) =(U-TS+PV)/N – химический потенциал, работа при увеличении числа частиц в системе на 1, U – внутреняя энергия системы, S – энтропия, V – объем, p – давление. Энергия Ферми – максимальная энергия у электрона находящегося на уровне Ферми при T=0К. Вырожденный электронный газ: система частиц называется вырожденной, если её св-ва, описываемые квантовыми закономерностями, отличаются от св-в обычных систем, подчиняющихся классическим законам. Параметром вырождения А называется величина: А=exp(/kT), где  - химический эквивалент. Параметр вырождения показывает классический или квантовый случай газа: E_F/kT>1 – квантовая, <<1 – классическая.

2. Контактные явления в полупроводниках. P-n переход, его вольт-амперная характеристика.

Контактные явления в полупроводниках.

Если привести два разных полупроводника в соприкосновение, между ними возникает разность потенциалов, которая называется контактной. В результате в окружающем пространстве возникает электрическое поле. Контактная разность потенциалов обусловлена тем, что при соприкосновении поверхностей часть электронов переходит из одного полупроводника в другой.

Внешняя контактная разность потенциалов: ;

Внутренняя разность потенциалов: .

p-n переход, его вольтамперная характеристика.

p-n переход – тонкий слой на границе между двумя областями одного и того же кристалла, отличающимися типом примесной проводимости.

В р-области основные носители тока – дырки (акцепторы становятся отрицательными ионами). В n-области – электроны, отданные донорами в зону проводимости.

Диффундируя во встречных направлениях через пограничный слой, дырки и электроны рекомбинируют друг с другом.→ меньше носителей и большое сопротивление p-n-перехода. Одновременно на границе между областями возникает двойной электрический слой, образованный отрицательными ионами акцепторной примеси, заряд которых не компенсируется дырками, и положительными ионами донорной примеси, заряд которых теперь не компенсируется электронами. Электрическое поле в этом слое направлено так, что противодействует дальнейшему переходу через слой основных носителей. Равновесие достигается при такой высоте потенциального барьера, при которой уровни Ферми обеих областей располагаются на одинаковой высоте.

В направлении от p-области к n-области p-n-переход пропускает ток, сила которого быстро нарастает при увеличении приложенного напряжения (прямое направление).

В обратном направлении p-n-переход обладает гораздо большим сопротивлением, чем в прямом. Поле, возникающее в кристалле при наложении обратного напряжения, «оттягивает» основные носители о границы между областями, что приводит к возрастанию ширины переходного слоя, обедненного носителями.

ВАХ p-n-перехода

Билет 23

1.Дискретный испускания и поглощения электромагнитного излучения веществом. Формула Планка для равновесного твердого излучения.

Поместим абсолютно черное тело в куб с зеркальными стенками (отражающими). Равновесное тепловое излучение. f_(,T)=(²/4²c²),  - энергия на частоте , =(1/2)kT+(1/2)kT=kT. Гипотеза Планка состоит в том, что излучение испускается и поглощается порциями энергии (квант энергии). E=h, h=6,6*10^-34, Джс – постоянная Планка.h=h/2=1,05*10^-34 Джс, E=h. Дискретность:

Формула Планка:

Замечания: R=f_(,T)d=T⁴  =(k,c,h)=5,67*10^-8 Вт/м²Кл⁴ – постоянная Стефана-Больцмана. Закон Вина: f_(,T)  _(,Т), d_/d=0 Ищем максимум:  _max=b/T, b= 2,9*10^-3 м/Кл.

1. Примесная проводимость полупроводников. Концентрация основных и неосновных носителей в полупроводнике n-типа. Уровень Ферми примесного полупроводника n-типа. Температурная зависимость проводимости примесного полупроводника p-типа

Примесная проводимость полупроводников.

Примесная проводимость полупроводников возникает, если некоторые атомы данного полупроводника заменить в узлах кристаллической решетки атомами, валентность которых отличается на единицу от валентности основных атомов.

Концентрация основных и неосновных носителей в полупроводниках n-типа.

В полупроводнике с примесью, валентность которой на единицу больше валентности основных атомов, имеется только один вид носителей тока – электроны. Такой полупроводник обладает электронной проводимостью и является полупроводником n-типа. Атомы примеси, поставляющие электроны проводимости, называют донорами.

когда расстояние донорных уровней от дна зоны проводимости гораздо меньше запрещенной зоны, энергия теплового движения даже при обычных температурах оказывается достаточной для того, чтобы перевести электрон с донорного уровня в зону проводимости.

Уровень Ферми примесного полупроводника n-типа.

Уровень Ферми располагается в верхней половине запрещенной зоны.

При повышении температуры уровень Ферми() в полупроводниках обоих типов смещается к середине запрещенной зоны.

Температурная зависимость проводимости примесного полупроводника n-типа.

При повышении температуры концентрация примесных носителей тока быстро достигает вершины. Это значит, что практически освобождаются все донорные или заполняются электронами все акцепторные уровни. По мере роста температуры все больше сказывается собственная проводимость полупроводника, обусловленная переходом электронов из валентной зоны в зону проводимости. → при высоких температурах проводимость полупроводника складывается из примесной и собственной проводимостей. При низких температурах преобладает примесная, а при высоких – собственная проводимость.

Билет 26-2

2. Зонная теория твёрдых тел. Структура зон в металлах, полупроводниках и диэлектриках.

Энергия валентных электронов в кристалле изменяется квазинепрерывно – спектр разрешенных значений энергии состоит из множества близкорасположенных дискретных уровней. В действительности валентные электроны в кристалле движутся не вполне свободно – на них действует периодическое поле решетки, что приводит к тому, что спектр возможных значении энергии валентных электронов распадается на ряд чередующихся разрешенных и запрещенных зон. В пределах разрешенных зон энергия изменяется квазинепрерывно. Значения энергии, принадлежащие запрещенным зонам, не могут реализоваться.

Валентной зоной (в случае металла ее также называют зоной проводимости) называют разрешенную зону, возникшую уровня, на котором находятся валентные электроны в основном состоянии атома.

Структура зон в металлах, полупроводниках и диэлектриках.

Разрешенную зону, возникшую из того уровня, на ктр. находятся валентные э-ны в осн. состоянии атома будем называть валентной зоной. В случае металла электроны заполняют валентную зону неполностью, поэтому достаточно сообщить э-нам, находящимся на верхних уровнях, совсем небольшую энергию(10-22 эВ), чтобы перевести их на более высокие уровни. В случаях полупроводника и диэлектрика уровни валентной зоны полностью заняты электронами. Для того чтобы увеличить энергию э-на необходимо сообщить ему кол-во энергии не меньшее, чем ширина запрещенной зоны. Электрическое поле сообщить такую энергии э-ну не в состоянии. Если эта ширина невелика (неск. десятых эВ), то энергии теплового движения оказывается достаточно для перевода части э-нов в верхнюю свободную зону. Эти э-ны будут нах-ся в усл-ях аналогичных тем, в ктр. находятся валентные э-ны в металле. Свободная зона окажется для них зоной проводимости. Одновременно станет возможным переход э-нов вал. зоны на ее освободившиеся верхние уровни. Такое в-во – полупроводник. Если ширина запрещенной зоны порядка неск. эВ, тепловое движение не сможет забросить в своб. зону заметное число э-нов. В этом случае кристалл – диэлектрик.

Билет 24

1. Зонная теория твердых тел. Структура зон в металлах, полупроводниках и диэлектриках.

В основе зонной теории лежит так называемое адиабатическое приближение. Квантово-механическая система разделяется на тяжелые и легкие частицы- ядра и электроны. Поскольку массы и скорости этих частиц значительно различаются, можно считать. Что движение электронов происходит в поле неподвижных ядер, а медленно движущиеся ядра находятся в усредненном поле всех электронов. Принимая, что ядра в узлах кристаллической решетки неподвижны, движение электрона рассматривается в постоянном периодическом поле ядер. Далее используем приближение самосогласованного поля. Взаимодействие данного электрона со всеми другими заменяется действием на него стационарного эл.поля, обладающего периодичностью кристалл.решетки. Это поле создается усредненным в пространстве зарядом всех других электронов и всех ядер. Пока атомы изолированы, т.е. находятся друг от друга на макроскопических расстояниях, они имеют совпадающие схемы энергетических уровней. (см.рис). По мере сжатия нашей модели до кристал.решетки, т.е. когда расстояния между атомами станут равными межатомным, взаимодействие между атомами приводит к тому, что энергетические уровни атомов смещаются, расщепляются и расширяются, образуется зонный энергетический спектр.

Образование зонного энергетического спектра в кристалле является квантово-механическим дефектом и вытекает из соотношения неопределенностей. В кристалле валентные электроны атомов, связанные слабее с ядрами, чем внутренние электроны, могут переходить от атома к атому сквозь потенциальные барьеры, разделяющие атомы, т.е. перемещаться без изменения потенциальной энергии (туннельный эффект).

Энергия внешних может принимать значения в пределах закрашенных областей (см.рис), называемых разрешенными энергетическими зонами. Разрешенные энергетические зоны разделяются зонами запрещенных значений энергии, называемые запрещенными энергетическими зонами.

2. Ядерная модель атома. Постулаты Бора.

На основании своих исследований Резерфорд в 1991г. предположил ядерную (планетарную) модель атома. Вокруг положительного ядра, имеющего заряд Ze(Z- порядковый номер элемента, е-элементарный заряд), размер 10^-15-10^-14 м и массу, практически равной массе атома, в области с линейными размерами порядка 10^-10м по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома.

Первый постулат Бора (постулат для стационарных состояний): в атоме существуют стационарные состояния( не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарные состояния атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов сопровождается излучением электромагнитных волн. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантовые значения момента импульса, удовлетворяющие условию

m_evr_n=ħn (n=1,2,3…) где m_e-масса электрона,v-его скорость по n-орбите радиуса r_n,ħ=h/(2π)

Второй постулат Бора (правило частот): при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией hv=E_n-E_m равной разности энергий соответствующих стационарных состояний (E_n и E_m – соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения(поглощения). При E_m<E_n происходит излучение фотона, при E_m>E_n- его поглощение.