3. Действия над приближенными числами

При сложении двух приближенных чисел а₁=А₁₁ и а₂=А₂₂ получаем такой результат:

а₁ + а₂ = А₁ +А₂ ₁ ₂.

Истинные знаки погрешностей ₁ и ₂ нам неизвестны, следовательно, для того, чтобы обеспечить достоверность результата, мы должны взять наихудший возможный случай, когда погрешности складываются.

Таким образом, абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

(а₁ + а₂) = ₁ + ₂.

Сформулированное утверждение дает возможность оценить точность полученной суммы и предвидеть, с какой точностью надо взять слагаемые для того, чтобы гарантировать необходимую точность результата. Например, пусть надо найти сумму приближенных чисел

5.8 + 287.649 + 0.008064

При этом возможны три способа:

5.8		5.8		5.8
287.649		287.6		287.65
0.008064		0.0		0.01
293.457064		293.4		293.46	293.5

Действительно, в числе 5.8??? отброшенные цифры нам неизвестны, так что не имеет никакого смысла к неизвестным числам прибавлять известные и получать результат с точностью до миллионных, которая ничем не гарантирована.

Второй способ также неверен, т.к. совершенно не использует большую точность двух слагаемых. Поэтому правильным суммированием будет сохранить в остальных слагаемых один лишний десятичный знак, а после сложения результат округлить до десятых, согласно с точностью числа, имеющего наибольшую абсолютную погрешность. При большом числе слагаемых вычисления лучше вести с двумя лишними десятичными знаками.

Оставляя запасные десятичные знаки в остальных слагаемых, мы, конечно, не устраняем погрешности, которую имеет наименее точное слагаемое, но этим мы почти исключаем погрешности всех остальных слагаемых и погрешность всей суммы сведем к погрешности слагаемого с наибольшей абсолютной погрешностью.

При вычитании приближенных чисел их погрешности также вычитаются, но алгебраически, когда обе погрешности одного знака, они вычитаются, а когда у них разные знаки, то складываются.

Поэтому, как и в случае сложения, абсолютная погрешность разности двух приближенных чисел равна сумме их абсолютных погрешностей.

(а₁ - а₂) = ₁ + ₂.

В случае суммы n положительных слагаемых относительная погрешность будет

 = .

Относительная погрешность слагаемого a_i определяется

_i = .

Обозначим через _max и _min наибольшее и наименьшее из чисел, тогда будем иметь следующие оценки

_min=<=<=_max,

таким образом _min<<_max, причем эти неравенства справедливы как для случая положительных слагаемых, так и для случая, когда все слагаемые отрицательные, т.е. относительная погрешность суммы слагаемых одного знака заключается между наименьшей и наибольшей относительными погрешностями слагаемых.

Относительная погрешность разности двух чисел записывается

(a₁-a₂)== =.

Наиболее опасные погрешности возникают при определении разности двух близких чисел. Например, 2520-2518=2. Разность двух чисел, каждое из которых имело четыре значащие цифры, сохранила только одну. В этом случае абсолютные погрешности исходных данных а₁=а₂=0.5 и относительные погрешности _а1_а2= =0.5/25180.0002(0.02%). Относительная погрешность разности равна

(a₁-a₂) = = 0.5(50%).

Следовательно, при малых погрешностях в исходных данных мы получим весьма не точный результат. Поэтому при организации вычислительных алгоритмов следует избегать вычитания близких чисел; при возможности алгоритм нужно видоизменить во избежание потери точности на некотором этапе вычислений.

Так при вычислении площади концентрического кольца, если дан радиус r внутренней окружности, а разность радиусов равна а, вместо формулы

s = [(r+a)²-r²]

в случае малых а выгоднее использовать формулу

s = (2ar+a²) = a(2r+a).

При умножении приближенных чисел относительная погрешность произведения равна сумме относительных погрешностей множителей.

Докажем это: A = a   = a(1  ) = a(1 ), тогда

AB = a(1  _a) b(1  _b) = ab(1  (_a + _b) + _a_b),

так как _a и _b малы, то _a_b число второго порядка малости, откуда

AB = ab(1  (_a + _b)).

Следовательно, _ab=_a+_b. Обобщенный случай произвольного числа сомножителей выполняется аналогично. Так как деление числа А на число В аналогично умножению числа А на число 1/В‚ то при делении: относительная погрешность частного равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя (_a/b=_a+_b). Отсюда вытекает такое правило: При умножении и делении приближенных чисел результат не может иметь больше значащих цифр, чем их имеет наименее точный (в относительном смысле) компонент. Поэтому при выполнении этих действий все числа надо округлять с одной или двумя лишними значащими цифрами относительно наименее точного из них, которые затем при округлении окончательных результатов отбрасываются. Наименее точным в относительном смысле числом мы считаем то, которое имеет наименьшее количество значащих цифр.

Пример: Найдем произведение чисел а=42.780.005 и в=0.07640.00005, т.к. эти числа приближенные, то в действительности а и в могут быть любыми числами в промежутках 42.775≤а≤42.785 и 0.07635≤в≤0.07645.

Посмотрим, какой результат дадут граничные случаи, для этого перемножим вначале наименьшие возможные значения а и в, а затем наибольшие и : 42.7750,07635=3.265871253.27,

42.7850,07645=3.270913253.27.

Сравнив эти два произведения, мы видим, что в них совпадают только первые три цифры, а остальные получены лишь для того, чтобы их зачеркнуть. Таким образом, если мы найдем произведение данных приближенных чисел: ав=42.780.0764= 3.2683923.27, в результате можно гарантировать надежность только первых трех цифр, и ровно столько значащих цифр имеет наименее точное (в относительном смысле) число в=0.0764. В отдельных неблагоприятных случаях даже и последняя из гарантированных цифр может быть сомнительной. Поэтому, чтобы не попасть впросак, существует следующее правило:

Для чисел, которые начинаются с единицы, надо стараться вычислить одну лишнюю значащую цифру. Тогда точность результата значительно возрастает. Например: N₁=1.032; N₂=9.968; ₁=100%  0.05%; ₂=100%  0.005%. Т.е. второе число значительно более точное, чем первое. Подчеркнем также, что при умножении и делении приближенных чисел положение запятой у множителей совсем не влияет на точность результатов.

Например, для а=0.04278 и b=76.4 мы, как и в первом примере, будем иметь результат с тремя значащими цифрами: аb=0.0427876,432,7.

Если число А - точное число (тогда _а=_а=0), то относительная погрешность произведения bА и частного b:А будет равна относительной погрешности приближенного числа _b, абсолютная погрешность произведения увеличивается в А раз, и абсолютная погрешность частного b:А уменьшится в А раз.

Возведение в степень приближенного числа всегда можно рассматривать как n‑кратное умножение этого числа на себя, поэтому относительная погрешность степени равняется относительной погрешности основания, умноженной на показатель степени n

(aⁿ) = n_a.

При извлечении корня из приближенного числа относительная погрешность уменьшается пропорционально показателю корня, поэтому в результате всегда получаем не меньшее количество значащих цифр, чем имеется в подкоренном числе.

() = _a.