24

Лабораторная работа 1

Тема: Действия с приближенными величинами

Цель работы: приобретение практических навыков работы с приближенными величинами, решение прямой и обратной задач теории приближенных вычислений

1. Общие сведения точность вычислительного эксперимента

1. Приближенные числа

Любое десятичное приближенное число может быть записано с фиксированной точкой - это привычная для нас форма записи чисел: 5, -10, 21.13, 0.0093 и т.д. и с плавающей точкой - обычно используется во всех машинах: так число 232.3 можно записать в виде 232310^-1, 2.32310², 0.232310³.

В общем случае всякое десятичное приближенное число может быть представлено в виде:

а = ₁10^m + ₂10^m-1 +₃10^m-2 ++ _n10^m-n+1 +, (1.1)

где _i - цифра числа, причем ₁0;

m - старший десятичный разряд числа а.

Десятичное число в форме с плавающей точкой записывается в виде а=m10^k, где m - мантисса числа, а k - его порядок. Мантисса может быть представлена в виде m=0.₁₂_n. Если ₁0, то мы имеем нормализованную форму записи числа с плавающей точкой.

2. Некоторые положения из теории приближенных чисел

На практике различают два вида погрешностей - абсолютную и относительную. Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности между его истинным значением А и приближенным значением а, полученным в результате вычисления или измерения.

_а = А -а.

К сожалению, истинное значение величины А обычно не известно. Поэтому не может быть определена и абсолютная погрешность. В таких случаях вводят понятие граничной или предельной абсолютной погрешности приближенного числа а, которая является верхней оценкой модуля абсолютной погрешности

_а = _гр  _x = max |A-a|.

В этом случае истинное значение A находится в интервале

a-_aA≤a+_a или А=а_а.

Абсолютная погрешность  приближенного числа а сама по себе не характеризует точность вычислений или измерений, поскольку не учитывается величина самого числа. Поэтому для характеристики точности приближенных чисел вводится понятие относительной погрешности.

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению приближенной величины

_а =

Относительная погрешность часто выражается в процентах:

_а = 100%.

Рассмотрим такой вопрос. Часто считают приближенное число более точным, чем больше десятичных знаков оно имеет. Для того, чтобы проверить так это или нет, сравним относительные погрешности двух чисел, полученных в результате округления более точных чисел 0.000001 и 98.1.

Может показаться, что первое число - чрезвычайно точное число, а второе - очень приближенное. В действительности же, оба приближенных числа при округлении определяются с точностью до половины единицы последнего их разряда, и абсолютная погрешность первого числа ₁=0.0000005, а для второго ₂=0.05. Но относительная погрешность первого числа будет: ₁ = , а второго:_а = , то есть второе число определено почти в тысячу раз точнее.

Относительная погрешность приближенного числа определяется только количеством его значащих цифр, и положение запятой при этом никакого значения не имеет.

Например, числа 734.8; 0.007348; 7348 имеют одинаковую относительную точность, так как для них

 =

Верной цифрой приближенного числа обычно называют такую, абсолютная погрешность которой не превышает половины единицы последнего разряда. Сомнительной цифрой называют цифру, следующую за верной.

Значащими цифрами числа называют цифры начиная с первой слева, отличной от нуля, и заканчивая последней, за точность которой еще можно поручиться.

Например, 328.47 имеет пять значащих цифр, 0.00037 - две, 10.03 - четыре значащие цифры.

Ноль имеет различные значения в зависимости от места, которое он занимает:

• ноли, стоящие в начале чисел до цифр отличных от ноля, не являются значащими;

• ноли, находящиеся в середине числа между цифрами отличными от ноля, являются значащими;

• ноли, которые стоят в конце числа после последней цифры отличной от ноля, имеют двойной смысл.

На практике можно встретить понятия верной значащей цифры в узком и широком смысле:

Приближенное число а вида (1.1) содержит n верных значащих цифр в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины десятичного разряда, выражаемого n-й значащей цифрой, считая слева направо, т.е. если выполняется неравенство

a  0.510^m-n+1.

Приближенное число а вида (1.1) содержит n верных значащих цифр в широком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит единицы десятичного разряда, выражаемого n-й значащей цифрой, считая слева направо, т.е. если выполняется неравенство

a  110^m-n+1.

Так для точного числа А=17.976 число а=17.97 является приближенным с четырьмя верными цифрами в широком смысле, т.к.

а = |А-а| = 0.006 < 10.01,

а число 5.634(0.07) (m=0, n=2) содержит две верные значащие цифры в широком смысле 5 и 6, т.к. а=0.07<0.1 и должно быть записано а=5.6.

Таким образом, форма записи приближенного числа должна соответствовать абсолютной погрешности данного числа.

Таким образом, приближенное число рекомендуется всегда записывать так, чтобы можно было судить о его точности, для чего надо пользоваться следующим принципом:

Приближенное число следует писать так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верными, и лишь последняя была сомнительной, и притом не более чем на одну-две единицы.