- •Донецкий национальный технический университет
- •Уровни, аспекты и этапы проектирования
- •Основные термины и определения
- •Иерархические уровни описаний проектируемых объектов.
- •Аспекты описаний проектируемых объектов
- •Составные части процесса проектирования
- •Нисходящее и восходящее проектирование
- •Внешнее и внутреннее проектирование
- •Унификация проектных решений и процедур
- •Виды описаний проектируемых объектов и классификация их параметров
- •Типовые проектные процедуры
- •Классификация типовых процедур (задач) проектирования
- •Типичная последовательность проектных процедур
- •Маршруты проектирования технических объектов.
- •Режимы проектирования в сапр
- •Математическое обеспечение автоматизированного проектирования
- •Требования к математическим моделям
- •Классификация математических моделей
- •Методика получения математических моделей элементов
- •Преобразования математических моделей в процессе получения рабочих программ анализа
- •Формализация получения математических моделей систем
- •Постановка и решение задач анализа
- •Требования к методам и алгоритмам анализа
- •Математическая постановка типовых задач анализа
- •Выбор численных методов для решения задач анализа
- •Особенности постановки и решения задач анализа на метауровне
- •Постановка и решение задач параметрического синтеза
- •Классификация задач параметрического синтеза
- •Математическая формулировка основной задачи оптимизации параметров и допусков
- •Разновидности постановок задач параметрического синтеза
- •Постановка и решение задач структурного синтеза
- •Классификация задач структурного синтеза
- •Описание структур объектов в виде и-или-дерева
- •Подходы к решению задач структурного синтеза
Выбор численных методов для решения задач анализа
Как видно из рис. 3.2, большинство задач анализа в САПР сводится к решению систем алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений.
Для решения систем нелинейных алгебраических уравненийприменяютитерационные методы. Главными показателями эффективности этих методов являются вероятность и скорость сходимости итераций к корню системы.
Наибольшей скоростью сходимости среди применяемых в САПР методов обладает метод Ньютона, основанный на линеаризации исходной системы уравнений и вычислении нового приближения к корню путем решения линеаризованной системы.
Пример применения метода Ньютона при нахождении корня некоторого уравненияf (x) = 0 проиллюстрирован на рис.4.1а. Выбрав некоторое начальное значение аргументах0, находят уравнение касательной к графику функцииf (x) в точке (х0,f (x0)). Затем ищут кореньх1этого уравнения (абсциссу точки пересечения касательной с осью абсцисс). Для аргументах1повторяют указанные действия, в результате чего получают аргументх2. С каждым последующим шагом итерации получаемое значение аргумента приближается к действительному решению уравненияf (x) = 0. Процесс завершают наi-м шаге, когда достигают необходимой точности определения значения корня, т.е. когда
или, (4.6)
где δyиδх— допустимые величины погрешностей определения значения функции и корня уравнения.
Однако метод Ньютона имеет ограниченную область сходимости — итерации сходятся, если начальное приближение было выбрано в достаточно малой окрестности корня. Наличие экстремума или разрыва функции между выбранным начальным приближением и корнем приведет к ошибке, рис. 4.1б.
Поэтому в САПР находят применение также итерационные методы, для которых имеются сравнительно простые способы обеспечения сходимости. Недостаток этих методов — меньшая скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени. Основными представителями этих методов являются релаксационные методы.
Для решения систем линейных алгебраических уравнений(ЛАУ) в различных процедурах автоматизированного проектирования используетсяметод Гаусса, заключающийся в последовательном исключении неизвестных исходной системы, иматричный метод. Последний более экономичен и легче формализуется, поэтому используется значительно чаще.
Решение дифференциальных уравненийв САПР выполняется с использованиемметодов численного интегрирования. Известно несколько таких методов, наиболее простыми из которых являютсяметод прямоугольниковиметод трапеций.
Все методы предполагают дискретизациюпеременной интегрирования — разбиение отрезка интегрирования на некоторое количество равных или неравных интервалов. Вметоде прямоугольниковинтеграл вычисляется как сумма площадей прямоугольников, рис.4.2а:
, (4.7)
где Δx = (xi+1 – xi) — величина интервала;n— количество интервалов. Как видно из рисунка, метод дает весьма большую погрешность, которая будет тем больше, чем больше величина интервалов Δx.
Метод трапеций(метод Ромберга) предполагает суммирование площадей трапеций, рис.4.2б:
, (4.8)
Метод несколько увеличивает объем вычислений, но дает значительно меньшую погрешность.
В методе парабол(методе Симпсона) участки кривойf (x) аппроксимируются не прямыми, как в предыдущем методе, а параболами. Метод позволяет получить весьма точный результат, но приводит к значительно большему объему вычислений.