1.7. Фильтрационные модели (фильтрационная консолидация слоя грунта)

В [34, 35] приведены модели для описания механических процес-сов, происходящих в земной коре и возникающих в результате круп-номасштабной строительной деятельности людей, под действием мас-совых, гравитационных, сейсмических и других процессов.

Изложены модели и теории консолидации и ползучести много-фазных грунтов; лёссовых и набухающих вечно-мерзлых грунтов. В [34] используются решения В.А. Флорина (1961), Ю.К. Зарецкого (1967), Н.У. Арутюняна (1952), К. Терцаги (1925, 1961), Л.С. Лейбен-зона (1947), С.С. Вялова (1959, 1978) и др.

В основу теории консолидации в многофазных грунтах положена модель, состоящая из упруго-вязкого скелета и сжимаемой газосодер-жащей жидкости.

Для описания НДС многосвязной среды в пространстве и времени использованы уравнения равновесия, геометрические уравнения, фи-зические уравнения для скелета грунта и газосодержащей поровой жидкости.

Так, одно из уравнений равновесия имеет вид:

¶s _{x +} ^¶t_{xy +} ¶t_{xz = x -} ¶r_{w ,} ¶x ¶y ¶z ¶x

где _w – поровое давление.

Физические уравнения для скелета грунта базируются на дефор-мационной теории пластичности (Л.М. Качанов, 1969).

Зависимости между напряжениями и деформациями при измене-нии объёма имеют вид:

_i t)= 2y _i s_i t)+2 _i y _is_i t) , _v t = y _vs_v t + f_v y _vs_v t ];

31

где f_i[y t ], f_v[y( ] – интегральные операторы Вольтера с ядрами k_i (t, ) ^и k_v (t,t) ^{, характеризующие скорость ползучести скелета}

грунта при изменении формы и объёма.

Пусть слой грунта находится под действием сплошной равномер-но распределённой нагрузки, безгранично распространённой во все стороны по горизонтальной поверхности слоя. Необходимо сделать прогноз развития одномерной консолидации грунта.

Принимаются следующие допущения:

· поровая вода и минеральные частицы грунта не сжимаемы;

· характеристики сжимаемости и фильтрации грунта в рассмат-риваемом диапазоне изменения давлений являются величинами посто-янными;

· фильтрация поровой жидкости подчиняется закону Дарси; · ползучесть скелета грунта учитывается;

· все поры грунта полностью заполнены водой;

· в момент приложения нагрузки вся она передаётся на поровую воду;

· когда отсутствует нагрузка, поровое давление равно нулю;

· часть давления от нагрузки передаётся на скелет грунта p_z, а

другая – на поровую воду, создавая в ней напор p , т.е p₀ = p_z + p_w;

· с течением времени давление на воду будет уменьшаться, а на скелет возрастать.

Для полностью водонасыщенного грунта соблюдаются условия неразрывности – увеличение расхода воды равно уменьшению порис-тости:

¶q n

¶z ¶t

По закону ламинарной фильтрации

q = -K_ф ^¶Н

и

¶q _{= -K}ф¶²Н _.

Учитывая, что напор воды Н равен давлению в воде p_w ( поровому давлению), делённому на удельный вес воды _в , то

32

p_w p₀ p_z ; H p_w / _w; H (p₀ - p_z )/ g_w ;

¶²Н 1 ¶² р_{z ¶z}² g_{w ¶z}²

¶ ^K_ф ¶²Pz ¶ g_{w ¶z}²

Вводится коэффициент консолидации

C = _{m g}w_,

где _mv – коэффициент относительной сжимаемость грунта. Тогда

_C ¶²Pz ₌ ¶р_{z .}

Это дифференциальное уравнение одномерной задачи теории фильтрационной консолидации водонасыщенного грунта.

Давление в скелете грунта на глубине z:

р_z = r₀ 1- ⁴sin ^pz e^-N - ⁴ sin^3pz e^{-9N } _,

где е – основание натуральных логарифмов;

_{N =} p²C_vt _,

4h²

где h_ф – максимальная длина пути фильтрации, h_ф = h_с /2.

1.8. ДИНАМИКА СЫПУЧИХ СРЕД

В условиях плоской деформации движущейся сыпучей среды следует ввести в рассмотрение пять неизвестных функций: X_x(x, y, t); Y_y(x, y, t); X_y (x, y, t); v_x(x, y, t); v_y(x, y, t) – три компонента тензора на-пряжений и две проекции вектора скорости на оси х и у.

Исходя из следующей системы уравнений, описывающей состоя-ние движущейся сыпучей среды [6]:

_{Х -} 1 ^ ¶Х_{x +} ^¶Y_y ^ ₌ ¶v_{x + v} ¶v_{x + v} ¶v_{x ;} r_{0 } ¶х ¶y _ ¶t ¶x ¶y

33

_{Y - 1 } ¶X _{y +} ¶Y_{y  =} ¶v_{y + v} ¶v_{y + v} ¶v_{y ;} r_{0 } ¶x ¶y _ ¶t ¶x ¶y

(X _x - Y_y )² + 4X _y = sin ² j(X _x + Y_y + 2kctgj)²;

^¶vx + ^¶vy =0; ¶_x ¶y

^ _{¶vx +} ¶v_{y  ±  ¶vx -} ¶v_{y tgj}

^2X _{y = } ¶y ¶x _{ } ¶x ¶y _{ .}

^{Xx - Yy  ¶vx} - ^{¶vy } ± ^{ ¶vx} + ^{¶vy }tgj _ ¶x ¶y _{ } ¶y ¶x _

Уравнения движения среды являются условием предельного рав-новесия, заключающимся в том, что в каждой точке среды максималь-ная разность касательного напряжения и соответствующего нормаль-ного напряжения, умноженного на тангенс угла внутреннего трения j, равна предельному напряжению сцепления k. Условие

t - s_ntgj =k

выполняется в каждой точке на двух площадках, составляющих с на-правлением максимального главного нормального напряжения s₁ ост-рые углы ± g, где g= ^p - ^j .

4 2

Два семейства линий, совпадающих в каждой точке с направле-ниями этих площадок, принято называть линиями скольжения. Урав-нение представляет собой условие сплошности для неснижаемой сре-ды и выражает условие совпадения направления максимальной скоро-сти деформаций сдвига с одним из семейств линий скольжения, кото-рое будем называть в дальнейшем активным семейством.

1.9. РЕОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Реология – наука, устанавливающая общие законы образования и развития во времени деформаций любого вещества от различных при-чин в различных термодинамических и физико-химических условиях.

Для прогноза деформации неустановившейся затухающей ползу-чести применяют линейную (в отношении напряжений) теорию на-следственной ползучести Больцмана–Вольтера [3, 21, 33 – 35].

Уравнение состояния при однократном загружении имеет вид:

34

e(t)= ^s(t) +k(t -t₀)s(t₀)t₀,

где e(t) – изменение относительной деформации во времени; s(t)/Е – мгновенная деформация в момент времени t при модуле Е;

k(t t₀ )s(t₀ )t₀ ^{– ядро ползучести.} При непрерывном загружении

e(t) = ^s(t) tk(t - t₀)s(t₀)Dt_{0 .} 0

Ядро ползучести – скорость ползучести при постоянном напря-жении, отнесённая к единице действующего давления.

Для глинистых грунтов

k(t - t₀ ) = de^{-d'(t-t0 )} ,

где d и d¢– параметры ползучести, определяемые опытным путём. Уравнение Бингама–Шведова имеет вид:

¹e_yz =t-t _,

откуда

t=t +n ^de, t

где n = 1/h – коэффициент вязкости; t₀ – начальное (e_yz = 0) двиговое напряжение.

Месчян С.Р. предложил модели формоизменения глинистых грун-тов при сдвиге под действием уплотняющего давления. Эксперименты подтвердили положения Маслова–Арутюняна, теории наследственной ползучести стареющих материалов.

Уравнение ползучести принято в виде:

_t = w (t, _z ) f ( ,s _z ,t),

где f(t, s_z, t) = a(s_z, t)t + b(s_z, t)tn(sz), w(s_z, t) – мера сдвиговой ползу-чести; f(t, s_z, t) – функция касательного напряжения, зависящая от s_z; n – показатель нелинейности деформации сдвиговой ползучести.

Уравнение ползучести при простом сдвиге для любого его со-стояния получено в виде (закон ползучести при простом сдвиге):

g_t = w(t - n) f (t/t_{f .st} )= w(t - n) f ^ _s z_{tgf + c} ^,

35

где n – момент приложения касательного напряжения; t_f.st – стандарт-ное сопротивление сдвигу.

Для описания процессов термо- и виброползучести предложено уравнение:

_t (t n) f[t/t_{f .st} ( _z,t - ,T ,a₀,w₀,w],

где Т₀ – температура; w₀ – частота колебаний; а₀ – амплитуда колеба-ний.

Ползучесть может происходить с постоянной или уменьшающей-ся скоростью, но может возникать (при больших уровнях напряжений) и незатухающая с увеличивающейся скоростью (прогрессирующая ползучесть), приводящая к разрушению.

При приложении или снятии нагрузок происходят процессы уп-лотнения или разбухания водонасыщенного грунта, т.е. возникают процессы отжижения или притока. Продолжительность консолидации определяется водопроницаемостью грунта, структурной прочностью, ползучестью скелета, характером напластований.

Для прогноза развития осадок во времени используют теорию фильтрационной консолидации. При этом рассматривают полностью водонасыщенные грунты. Вода из пор отжимается только в вертикаль-ном направлении. В начальный момент времени (приложения нагруз-ки) давление передаётся на воду, а затем постепенно на скелет грунта. Осадка в любой момент времени

S_t =US,

где U – степень уплотнения во времени; S – конечная осадка, напри-мер, вычисленная по СНиП.

Величина U = f(N_R), где N_R = p²C_vt/4h_s, t – время от начала прило-жения нагрузки, h_s – толщина уплотняемого слоя, C_v – коэффициент консолидации,

C_v = K_фЕ/ _wb,

K_ф – коэффициент фильтрации, b = f(v).

1.10. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ

Упругость – свойство тел восстанавливать свои размеры и форму после удаления внешних сил, вызвавших деформацию. Наибольшее применение вызвала линейная теория упругости, когда деформация пропорциональна нагрузкам.

Пластичность – свойство твёрдых тел приобретать необратимые (остаточные) деформации, называющиеся пластическими.

36

Модель идеально пластического тела является классической мо-делью тела, способного деформироваться необратимо и приобретать остаточные деформации. Простейшим видом идеально пластического тела является модель изотропного несжимаемого жесткопластического тела. Эта модель не учитывает упругую деформацию. Это имеет место, когда работа внутренних сил на пластических деформациях сущест-венно превосходит работу внутренних сил на упругих деформациях. Такие тела не деформируются, пока напряжения не достигнут предела текучести.

Для сложного напряжённого состояния условие пластичности или текучести имеет вид:

f (^s_ij) =0; i, j =1, 2, 3,

где _ij – компоненты тензора напряжений.

При f(s_ij) 0 имеет место жёсткое состояние, при f( _ij)=0–

пластическое.

В пространстве компонент тензора напряжений условия пластич-ности изображаются в виде некоторой поверхности текучести. В тече-нии процесса деформирования жесткопластическое тело сохраняет начальную изотропию или анизотропию.

Модель жёсткопластического тела включает также свойство не-сжимаемости материала.

Если в теории упругости рассматривается связь между напряже-ниями и деформациями, то в теории идеальной пластичности – связь между напряжениями и скоростями пластической деформации.

Мощность диссипации механической энергии при пластическом деформировании определяется равенством:

_{D =}s_ij &_{ij ,}

_где &_{ij – компоненты скорости пластической деформации.} Согласно принципу Р. Мизеса

^s_ij ^&_ij ³ _sij ^&_ij

или

(_sij - _sij)e_j ³ 0,

где s_ij – значения компоненты напряжения, соответствующие задан-^{ным значениям &}_ij; s_ij ^{– возможные значения компонент напряжений,}

удовлетворяющие условию пластичности.

Следствием принципа максимума Р. Мизеса является зависи-мость:

37

_ej_{= l} ¶f (^s_ij ) _; ij

_{> 0 при f (s}ij_{) = 0 ,} ¶f (^s_ij) _´dsij_{=0 ;} ij

l =0 _{при f (}^s_{ij) = 0 ,} ^{¶f (sij)} ´d^s_ij < 0_. ij

Приведённая зависимость является ассоциированным законом пластического течения, а функция f( _ij) является пластическим по-

тенциалом.

Важным понятием в теории идеальной пластичности является диссипативная функция (потенциал напряжения)

¶D ^ij ¶e_j

В пространстве компонент скоростей пластической деформации диссипативная функция имеет геометрический образ в виде поверхно-сти равного уровня мощности диссипации внутренних сил.

Для решения статических задач привлекаются (М.И. Ерхов,1978): а) уравнения равновесия

^s_{ij, j} + x =0; i, j =1, 2, 3;

б) граничные условия для напряжений s_ijn_j = p_i на S_p ;

в) условия пластичности

f (^s_ij) £ 0 ;

г) условия несжимаемости и граничные условия для скоростей и перемещений

u_i = u_i на _Su ;

д) соотношения ассоциированного закона течения

^&_ij =l ^{¶ (sij)} , ij

где х_i – компоненты вектора объёмных сил; _pi – компоненты вектора поверхностной нагрузки; S_p и S_u – части поверхности тела S, на ко-

38

торых заданы поверхностные нагрузки и скорости перемещений; n_j –

компоненты к нормали поверхности S. При малых деформациях

^&_ij = ¹ u_ij + u_ji ).

При действии динамических нагрузок на конструкции из жёстко-пластического материала вводят следующие условия:

а) уравнения движения:

s_{ij, j} - X_i -gu_i = 0; i, j =1, 2, 3;

б) граничные условия для напряжений: _ij ´ _j = p_i на _Su ;

в) условия пластичности:

f ( _ij ) £ 0 ;

г) условия несжимаемости и граничные условия для скоростей и перемещений:

u_i = u_i на S_u ; u_i = u_i на _Su ;

д) соотношения ассоциированного закона течения:

¶f (s_ij) ^ij ¶s_ij

е) связи компонентов ускорения с компонентами скорости:

_{&& =} ¶u _; ¶t

ж) начальные условия для скоростей и перемещений: u_{i t=0} = u_i t₀ ; u_{i t=0}= u_i t₀ ),

_где &_{u и Su – части поверхности S, на которых заданы значения ско-}ростей и перемещений.

Диаграмма Прандля соответствует модели упруго-идеально-пластического тела. Горизонтальный участок описывает идеальную пластичность.

39

_{Если < T , то} e= ^s _.

Исключение упругих деформаций приводит к жёстко-^{пластическому телу. При} s _T ^{тело абсолютно жёсткое;} = s_T возможны только пластические деформации. Концепция жёстко-плас-тического тела реализована в теории предельного равновесия.

Условия пластичности Треска: течение происходит при дости-жении максимального касательного напряжения определённого уров-ня. По предложению Сен-Венана

max s_i ,s _i - s _j - s_т £ 0,

где s_i (i = 1, 2, 3) – главные напряжения; _т – предел текучести при одноосном напряжённом состоянии.

Главные касательные напряжения:

t = ¹ s_i - s _j , k ¹ i, i ¹ j, k ¹ j_.

При чистом сдвиге

t = ¹s_{T .}

Условие пластичности Мизеса имеет вид:

s₁ - s₂ )² + s₂ - s₃ ² + s₁ - s₃ ² - s_т £ 0 .

Поверхность пластичности Мизеса регулярная – эллипсоид вра-щения. Условие Мизеса-Сен-Венана описывает нерегулярную поверх-ность с рёбрами.

Важное значение для описания процесса образования пластиче-ских деформаций играет постулат Друккера (1951).

(s_ij - s_ij )de_ij ³ 0,

^где s_ij ^{– действительное напряжение;} s_ij ^{– любое возможное напря-}

жение; при * £ 0, j s

этом должно выполняться условие пластичности

0, _ij – приращение пластической деформации, соот-

ветствующее напряжению *.

Знак равенства возможен при se_ij = 0 , а напряжение * – строго

внутри области, ограниченной условием пластичности. Поверхность пластичности – выпуклая область, вектор приращения пластических

40

деформаций направлен по нормали к поверхности пластичности в точ-ке *,a j * 0 .

Приведём уравнения текучести (предельного напряжённого со-стояния) для жёстко-пластичных сред для пространственного напря-жённого состояния.

Условие Губера-Мизеса ( s₁ 0, ₂ ¹ 0, s₃ 0 ):

^I₂ ^{= sт} или ¹ s₁ - s₂ )² + s₂ - s₃ )² + s₃ - s₁)² = s _т .

Для плоского напряжённого состояния ( ₃ 0 ):

s₁ - s s₂ + s₂ = s_т .

Условие прочности Мизеса–Шлейхера-Боткина ( ₁ 0, s ₂ 0, s₃ ¹ 0) ^:

I₁ s₁ + ₂ + s₃ ;

I₂ = ¹ s₁- s₂ ) + s₂ - s₃)² + s₃- s₁) ];

a = ^sinj ₁ » sin ^j ; 33- sin² j ₂

1

k =c1-12a² ₂ » ccosj .

Условие прочности по Мору–Кулону (плоская деформация s₁ 0, s ₂ ¹ 0 ):

^{s1- s2} +^{s1+ s2} sin j -c´cosj £ 0. 2 2

В нелинейной механике используют такие понятия, как интен-сивность напряжений

s₁ =

1

2

s_x - s _y ) + s_y - s_z ) + s_z - s_x ² +6 t_xy +t_yz +t_zx

и интенсивность деформаций

41

e =

2

3

e_x -e_y ) + e_y -e_z ) + e_z -e_x ² + ³ e_xy +e_yz +e_zx .

Часто принимают e_i = bs_i ; s_i = E e .

Для каждой точки нелинейно деформируемого упругого тела ин-тенсивность напряжений s _i пропорциональна интенсивности относи-

тельных деформаций _i . Коэффициент пропорциональности _E¢_{= f ( i ) – переменная величина.}

Если 0,5, то материал в процессе деформирования меняет

лишь форму без изменения объёма.

Для одноосного напряжённого состояния

t _кт = G'e _кт; s_окт = ¹ s₁ + s₂ + s₃);

_окт = ² s₁ ;

G = ^tокт ;

g_окт

s_i =^{ 3 } _{окт ; gокт » 2e ;}

g_окт » ² 3e₁ - s₁ /3k]; g_окт » 2e .

где _окт , _окт – октаэдрическое сдвигающее напряжение и сдвигающая

^{деформация; Gi = G 3 i – секущий модуль сдвига; K =} 31- 2n) ^– модуль объёмного сжатия.

Для сложного напряжённого состояния

_окт = ¹ s₁- s₂ ² + s₂ - s₃ ² + s₃ - s₁ ² = F( _окт)_;

s_окт = ¹ s₁+ s₂ + s₃)= ¹ _1;

I₂ = ₆[s₁- s₂ ² + s₂ - s₃)² + s₁- s₃ ²]_. Параметр Надаи – Лоде

s₂ - s₁ ² + s₂ - s₃)² s₁- s₃

Он изменяется от –1 до +1. Здесь s₁ s ₂ ³ s₃ .

Зависимость между напряжениями и упруго-пластическими де-формациями описывается уравнением Г. Генки [21]:

42

s _x - s_ср = _2eⁱ e_x - e_ср ); s _y - s_ср = _2eⁱ e_y - e_ср );

s_z - s_ср = ^si ( _z - _ср); i

_xy = _{3e xy};

t_yz = 3ee_yz; t_zx = 3ee_zx .

Предельное сопротивление грунтов сдвигу: для плоскостного сдвига (уравнение Кулона)

t_пр = f s )^;

для связных грунтов

_пр = c stg ;

для прямолинейной огибающей кругов Мора (сложное напряжён-ное состояние)

_tпр_{= f } s₁ + s_{3  ;}

по кривым Мора

^{s1 - s3} = sin j ; s₁ + s₃ + 2сctgj

в составляющих напряжений

(s_z - s _y )+ 4t_{yz = sin2 j .}

(s _z + s _y + 2сctgj)²

Более общий критерий разрушения:

_{F I1,I2,I3 = 0} или F ₁,s₂, ₃ 0,

где I₁ s₁ + s _{2 3} ; I₁ = -s₁s₂ - s _{2 3} - s₃s₁ ; I₃ = s_{1 2 3} . Применение уравнений нелинейной механики грунтов (меха-

ники, разрешающая система уравнений которой не линейна). В качестве объекта исследования является среда с двумя основными особенностями: с внутренним трением и многокомпонентностью (обычно трёхкомпонентная среда – частицы грунта + вода + воздух).

Нелинейность разрешающей системы проявляется в трёх случаях [10]:

· при зависимости консолидационных параметров от изменяю-щейся пористости – нелинейные консолидационные свойства;

43

· при нелинейной связи между напряжениями, деформациями и их производными во времени – физическая нелинейность;

· при нелинейной связи между компонентами деформаций и градиентами перемещений – геометрическая нелинейность.

Для решений задач используются уравнения состояния, выте-кающие из теории пластичности. В основе теории пластического тече-ния лежит принцип максимума Мизеса: скорость диссипации механи-ческой энергии в единице объёма во время пластического деформиро-вания имеет максимальное значение для действительного напряжённо-го состояния из всех возможных, допускаемых данным критерием пла-стичности.

В качестве допущений принимают следующие:

· поверхность нагружения не должна быть вогнута;

· направление вектора приращений пластических деформаций должно совпадать с нормалью к поверхности нагружения в точке на-гружения (ассоциированный закон пластического течения).

При учёте вязкопластичности вводится понятие мгновенной по-верхности нагружения. Циклические нагружения вызывают дополни-тельные вязкопластические деформации (вторичные пластические де-формации).

К числу основных факторов, определяющих процесс деформиро-вания, относят:

· физическое состояние грунта;

· деформация грунтов при активном нагружении;

· пластические деформации, зависящие нелинейно от напряже-ния, а также от пути нагружения и вида напряжённого состояния;

· дилатансия (дополнительное уплотнение или разуплотнение), зависящая от плотности грунта, его физического состояния, степени приближения к предельному состоянию, траектории нагружения, ха-рактера воздействия;

· многофазность грунтов;

· запаздывание пластических деформаций во времени, особенно для связных грунтов;

· характер воздействия (статические, циклические, динамиче-ские нагружения).

Для анализа нелинейного поведения грунтов используют различ-ные методы вычислительной математики: конечно-разностные, вариа-ционно-разностные, конечных и граничных элементов и др.

Кроме того, используют и другие нелинейные методы расчёта: нелинейная деформационная теория пластичности; ассоциированный закон пластического течения Друккера-Прагера, неассоциированный закон пластического течения, критического состояния, пластического

44

течения с упрочнением, обобщённый ассоциированный закон течения упрочняющихся пластических сред Койтера.

Величина пластических деформаций зависит от пути нагружения и вида напряжённого состояния. При сдвиге грунт либо доуплотняется (контракция), либо разуплотняется. Знак и величина дилатационной части объектной деформации зависит от плотности грунта, степени приближения к предельному состояния, траектории нагружения. Пла-стические деформации запаздывают во времени по отношению к на-гружаемому состоянию от нагрузки. Время запаздывания зависит от свойств грунта, величины и характера воздействия.

Феноменологическое описание реологических процессов в грун-тах проводятся на основе теории наследственной ползучести, теории течения и упрочнения.

Математическая модель вязкопластического деформирова-ния грунтов. В основу положена теория пластического течения уп-рочняющихся сред [10].

Приращение полных деформаций принимают в виде суммы

de_ij = de_ij + de_ij ^,

^где de_ij = c_ij,kl , ds _kl ^{– приращение компонент упругих деформаций,}

_ij,kl – матрица упругих характеристик, определяемых по разгрузке;

приращение пластических деформаций по всем регулярным участкам поверхности нагружения f₂ = 0.

^dej ⁼ å^dlr ^{df2 ,} ij

где d _r – пластические множители.

Принят обобщённый ассоциированный закон пластического тече-ния Койтера. Граница области упругого деформирования совпадает с поверхностью нагружения f₂ = 0, имеющей регулярные участки и осо-бые (сингулярные) точки.

В пределах поверхности нагружения грунт ведёт себя упруго. При нагружениях, выходящих за предел этой области, развиваются необра-тимые пластические деформации сдвига и объёма, характеризуемые интервалами e^p и e^p . Положение поверхности изменяется в процессе

деформирования по мере накопления пластических деформаций. Функция нагружения имеет вид

f_r = f_r(s_i; s; w_i; w_v; k_r),

45

где k_r – характерные константы регулярных участков; w_i и w_v – пара-метры упрочнения.

Предельные сдвиговые деформации разрушения ^*и объёмные e_vd связаные линейной зависимостью

e _d = -n e^* .

Закономерности изменения поверхности нагружения определяют-ся функциями упрочнения, зависящими от накопления пластических деформаций, параметров упрочнения.

Функциями упрочнения являются: p(w_i; w_v); q(w_i; w_v); q_d(w_i; w_v); Y(w_i).

Функция упрочнения p(w_i; w_v) является описанием диаграммы объёмного деформирования по данным трёхосных испытаний; функция упрочнения q(w; w ) является описанием деформации грунта.

q= s^* s Ф ^{wi } ;  ⁱ 

s_i s)= c_окт - s tgj_окт ;

Ф^{ wi} = ^wi , _w_{i } 1- B w_i + Bw_i

где s^* s – условие предельного состояния грунта, определяемое в

зависимости от принятого критерия прочности.

Модели основания буронабивной сваи. Математическая модель грунта принята [10] на основе теории пластического течения. Дефор-мация грунта и их приращения складываются из упругой и пластиче-ской частей. Приращения упругих деформаций связаны с приращени-ем напряжений законом Гука. Приращение пластических деформаций определяются на основании обобщённого ассоциированного закона течения. Функции нагружения приняты в виде соотношений

f_r = s_i + k_r(w_i; w_v)s – c_r(w_i; w_v),

где k_r и c_r – функция нагружения для каждого участка поверхности нагружения.

Решение задачи выполнено методом конечных элементов при со-вместном рассмотрении вышеприведённого уравнения и математиче-ского уравнения

[k]{u} = {F_g} + {F_q} + {F_p},

46

^{где k =} å^2p_ò ^B]t^{[ B Rds – глобальная матрица жёсткости;} s

_u ^U_R  _{– вектор узловых перемещений; {F}g_{} и {F}q_{} – векторы массо-}Z

вых и внешних сил; {F_p} – вектор сил, определённый соотношением:

^{Fр = 2p}ò ^B]t^{[ св e}р^{Rds ,} s

где [В] – матрица, характеризующая геометрическую форму элемента; [D] – матрица упругих характеристик; R – расстояние от оси симмет-рии; {F_p} – вектор пластических деформаций.

Расчётная область аппроксимировалась асимметричными тре-угольными элементами второго порядка.

В области, занятой сваей, вводится дополнительная фиктивная сила

F }= 2p_ò B]^t D_св B u Rds , s

где _Dсв – матрица упругих характеристик ствола сваи.

В теории предельного равновесия [19] в основном рассматрива-ются две группы задач – для условий плоской деформации и для усло-вий осевой симметрии. Наибольшие успехи были достигнуты в облас-ти решения прикладных задач для условий плоской деформации. Здесь решены основные задачи о вдавливании штампа в жёстко-пластическую среду, об устойчивости консолидирующихся оснований, о влиянии эксцентриситета и наклона равнодействующей на величину предельной нагрузки, о взаимовлиянии близкорасположенных фунда-ментов, об устойчивости слабых оснований дорожных насыпей и ряд других. Большинство из названных решений успешно применяются в практических расчётах оснований инженерных сооружений.

Для условий осевой симметрии получение подобных результатов встречает значительные трудности. Это объясняется тем, что задачи для условий осевой симметрии являются статически неопределимыми. Применение для раскрытия статической неопределимости условия полной пластичности грунтов существенно ограничивает как область определения предельной нагрузки, так и разнообразие расчётных схем. До сих пор не были получены статические решения задачи о предель-ном давлении круглого фундамента на основание для общего случая произвольных боковых пригрузок, а также задачи о предельном давле-нии кольцевого фундамента при развитии области предельного равно-весия как с наружной, так и с внутренней стороны кольца.

47

Основной вопрос анализа упруго-пластического деформирования грунтов заключается в разработке модели, адекватно отражающей их свойства. Определение параметров грунта для большинства моделей упруго-пластической среды с упрочнением требует наличия нестан-дартных приборов и методик испытания. Оценка устойчивости в рам-ках упруго-пластического решения предполагает качественное описа-ние заключительного этапа деформирования, когда преобладает пла-стическое течение грунта, что представляет значительные трудности.

Современная практика расчётного обоснования конструкций про-ектируемых зданий, их фундаментов и оснований предполагает прове-дение исследований напряжённо-деформированного состояния (НДС) полной системы «здание – фундамент – грунтовое основание» по вы-числительным программам, реализующим метод конечных элементов. Ввиду сложности корректного совместного расчёта всей системы, учёт взаимодействия здания с грунтовым основанием осуществляется с по-мощью коэффициентов постели основания, вычисляемых по упрощён-ным нормативным методикам. Расчёт грунтового основания при взаи-модействии с фундаментом осуществляется без учёта реальной жёст-кости самого здания.

Перечисленные расчёты выполняются с использованием специа-лизированных для решения различных задач вычислительных про-грамм и никак не связаны между собой.

В то же время в реальных условиях распределение вертикальных перемещений и коэффициентов постели основания по площади фун-дамента весьма неоднородно и зависит от жёсткости здания; характера распределения нагрузки, передаваемой на фундамент; инженерно-геологического строения основания; свойств грунтов и многих других факторов.

Учёт реального распределения нагрузок от здания на фундамент-ную плиту для данной конструкции приводит к значительному увели-чению прогиба фундаментной плиты и максимальной осадки здания. При этом учёт реальной жёсткости здания позволяет существенно уменьшить прогиб фундаментной плиты и снизить максимальную про-гнозируемую осадку здания.

Однако учёт реальной жёсткости здания позволяет получить наи-более высокие значения коэффициентов постели основания, которые (вместо приближённых) могут быть использованы при уточнённом расчёте прочности самого здания по его конечно элементной модели, построенной для создания суперэлемента.

Кроме того, для получения более достоверного прогноза НДС здания и грунтового основания целесообразно проводить итерацион-ные расчёты, моделирующие поэтапное возведение здания с пересчё-

48

том коэффициентов постели основания и распределения нагрузки, пе-редаваемой на фундамент.

Условия предельного равновесия Мора–Кулона и Мизеса– Боткина наиболее применяемы в механике сыпучих сред. Условие Мора–Кулона лучше соответствует экспериментальным данным, но крайне затруднительно в использовании из-за наличия на предельной поверхности сингулярных точек, а Мизеса–Боткина удобно в приме-нении, но приводит к повышению по сравнению с опытом влияния ^{промежуточного главного напряжения} s₂ ^{на прочность.}

В последнее время получили распространение различные обоб-щения условия предельного равновесия Мора–Кулона, имеющие регу-лярную поверхность и основанные на учёте вида напряжённого со-стояния, например предложенное Г.А. Гениевым [6]. Вопрос о физиче-ском объяснении влияния вида напряжённого состояния на прочность сыпучих сред остаётся открытым.

Наиболее приемлемым с физической точки зрения является обоб-щение условия Мора–Кулона, предложенное Накаи и Мацуоки [19]:

t = s_vtg , (*) где

s = ^3I3 ; I₂

t_v =

I₁I₂I₃ - 9I_{3 –}

I₂

соответственно нормальное и касательное напряжения на пространст-венной площадке предельного равновесия; – эффективный угол

внутреннего трения;

I₁ = s₁ + ₂ + ₃ ; I₂ = s₁s ₂ + _{1 3} + ₂s ₃ ;

I₃ = s₁s ₂s ₃ – инварианты тензора напряжений.

Нормаль площадки предельного равновесия v определяется на-правляющими косинусами

I = ^I3 ; m = ^I3 ; n = ^I3 ,

I₂s₁ I₂s₂ I₂s₃

где _{si (i =1, 2, 3)} – главные напряжения (сжатию соответствует _i > 0 , нумерация напряжений принята исходя из условия s₁ ³ ₂ ³ ₃ ).

Предельная поверхность, соответствующая (*), в системе коорди-нат s₁,s₂, ₃ имеет вид некруговой конической поверхности, описы-вающей пирамиду Мора–Кулона, с вершиной в начале координат. Ус-

49

ловие (*) предсказывает одинаковую прочность при напряжённых со-стояниях обобщённого сжатия s ₂ = s ₃ и растяжения ₁ s₂ и не-

сколько повышенную прочность при промежуточных значениях ₂ . Для различных состояний грунта по плотности дилатансия может

быть как отрицательной (разрыхление), так и положительной (уплот-нение). Деформация разрыхления наблюдается при сдвиге грунта плотного сложения при низких напряжениях или при напряжениях меньших тех, которые привели её к данной степени уплотнения. Сдвиг рыхлых грунтов характеризуется деформацией уплотнения, т.е. для грунтов ассоциированный закон течения Мизеса не выполняется, а вектор приращения пластической деформации в общем случае не ор-тогонален предельной поверхности.

Пластическое деформирование сыпучих сплошных сред в микроточ-ке происходит в результате возникновения сдвигов на площадках с неко-торым критическим значением касательных сил, которое зависит от нор-мальных. Площадки предельного равновесия не самые опасные, так как скольжение по ним требует пересечения значительного числа частиц.

Пусть сила сопротивления среды t отклоняется от площадки пре-дельного равновесия и лежит в плоскости истинного проскальзывания частиц, уравновешивая напряжения s _v и t_v , действующие на пло-щадках предельного равновесия.

Уравнение предельного течения имеет вид

_{t = tgj0s} , (**) где

s ₁II + ₂mm + ₃nn ;

t = s lm - s₂ml^¢2 + s₂mn - s₃nm ² + s₃nl - s nl ² –

нормальная и касательная силы, действующие на площадке скольже-^{ния и численно равные проекциям напряжений} _v ^и t_v ^{на нормаль к} площадке скольжения v и на неё саму; ₀ – истинный угол внутрен-него трения; _I , m , n – направляющие косинусы нормали площадки скольжения.

С математической точки зрения, под площадкой скольжения под-разумевается поверхность, на которой имеется или предполагается разрыв скорости при условии, что нормальная компонента разрыва равна нулю.

Если к критически напряжённой точке приложить приращения ^{напряжений} ds_i ^{, вследствие малости этого приращения направления} главных напряжений и связанных с ними площадок предельного рав-новесия не изменятся, а тензоры напряжений и скоростей пластиче-

50

ских деформации будут коаксиальными. Применяя к уравнению пре-дельного равновесия (*) ассоциированный закон течения Мизеса с учётом указанного допущения, получаем выражения для направляю-щих косинусов нормали площадки скольжения:

^I^¢= ¹ = 3



m^¢= =

 ³

^n^¢= ¹ =  ³

3e^рe₃ - J₂ + J₂ - 3J₁J₃ (e^p -e^p )(e^p -e^p )

3e^pe₃ - J₂ + J₂ - 3J₁J₃ (e^p -e^p )(e^p -e^p )

3e^pe^p - J₂ + J₂ - 3J₁J₃

(e^p -e^p )(e^p -e^p )

(***)

где J₁ =e^р +e^р +e^р , J₂ =e e^р +e e^р +e e^р , J₃ =e e^рe^р – инвариан-ты тензора скоростей пластической деформации; e_i = ^dep_dt

(i 1, 2, 3) – главные скорости пластической деформации.

Если среда обладает хотя бы некоторой регулярной упаковкой, ориентация площадки скольжения является функцией ориентации площадки предельного равновесия и дилатансии. Тогда формулы (***) будут справедливы и при произвольной дилатансии, так как направ-ляющие косинусы выражены через скорости пластической деформа-ции. Здесь стоит отметить, что лучшее согласие теории и эксперимента

будет наблюдаться для грунтов, состоящих из твёрдых частиц ок-

руглой формы.

Если среда практически не сжимаема, то J₁ 0 , и из выражений (***) следует, что площадка скольжения совпадает с октаэдрической с направляющими косинусами нормали. Площадка скольжения в общем случае не совпадает с площадками предельного равновесия, а её ориен-тация определяется деформированным состоянием среды.

На площадке скольжения тангенциальная компонента скорости пластической деформации

g^р = ²

3

- J₂ + J₂ - 3J₁J₃ ,

нормальная компонента e^p =0.

51

s₁

^{pv' = pv} '(i, m, n')

p_{v ( , m}

s₂ ^v s_v

0

s₃

Рис. 5. Площадки предельного равновесия и скольжения Условия дилатансии запишем в виде уравнения

_e ^p +_L g^p = 0,

гдеe^p =e^p +e^p +e^p – скорость объёмной пластической деформации; L – скорость дилатансии; _{I1 1 s 2 s 3} ; _{I2 = s1 2 + 1s3 s2s3} ; I_{3 1}s ₂s ₃ ^{– инварианты напряжённого состояния.}

Оказывается, что ассоциированный с условием (*) закон течения соответствует L = -(3/2)tgj .

Предельная поверхность, построенная по уравнению (**), также в общем случае не совпадает с поверхностью, соответствующей (*). Та-кое совпадение теоретически возможно в случае значительного дила-тансионного уплотнения или разрыхления среды при L (3/2)tgj .

При L (3/2)tgj площадка предельного равновесия одновре-_{менно является площадкой скольжения, т.е. l}¢ _{l ; m}¢ _{m ; n n. Если} = -(3/2)tg , в соответствии с излагаемый моделью _{j 0 0} , что возможно только для нереальной среды с отсутствием трения между частицами. Экспериментальные исследования (В.И. Николаевский, 1972) подтверждают, что «ассоциированная» дилатансия в опыте не

наблюдается.

В [31] отмечают, что закон сухого трения Кулона связывает про-екцию напряжений, действующих на пространственной площадке пре-дельного равновесия физической точки грунта, на нормаль к площадке скольжения и на саму площадку. Оси главных напряжений и скоростей пластической деформации совпадают.

52

Определяющие связи получены в виде:

e^p =e^pl ² +e^pm ² +e^pn ²,

g^p =2 e^p -e^{p 2}l ²m ² + e^p -e^p) m ²n ² + e^p -e^p)l ² ,

где _e^p _{= l}^{ s1l} _{- s}^ ; e^p = l_^s2m - s_; e^p = l_ ^s3n - s_ ; l = dl dt –

бесконечно малый скалярный множитель (l > 0); l , m , n – направ-ляющие косинусы, определяющие площадки скольжения в простран-стве главных скоростей пластической деформации e^p ³e^p ³e^p.

Из вышеприведенных соотношений следует, что тензоры скоро-стей пластических деформаций и напряжений не пропорциональны. Это затрудняет их использование. За скорости пластической деформа-ции приняты разности между полными скоростями пластической де-формации и их гидростатической части.

В общем случае тензоры напряжений и скоростей пластической деформации не подобны. Зависимость параметра вида напряжённого состояния

m_s = (2s₂ – s₁ – s₃)/ (s₁ – s₃)

от параметра вида для скоростей пластической деформации устанав-ливается при решении системы уравнений относительно l, m, n при известных l', m', n'.

Допущение о подобии напряжённого и деформированного со-стояния подтверждено экспериментами других учёных (МИСИ) и мо-жет быть использовано для описания процессов деформирования ди-латансионно уплотняющегося грунта.

Осесимметричное предельное напряжённое состояние опреде-ляется в цилиндрической системе координат ОRZ (ось симметрии ОZ вертикальна) при условии прочности Кулона–Мора [15]:

s_r - s_z ) + 4t_rz = s_r + s_z + 2cctgj)sin j ,

где с, j – удельное сцепление и угол внутреннего трения грунта. Промежуточное главное напряжение s₂ = s_q , действующее в тан-

генсальной плоскости, выражается при условии неполной пластично-сти формулой:

s_q = ¹ s_r - s_z )+ ^ms s_r - s_z )² +4t_rz ,

где _s = (2s₂ – s₁ – s₃)/(s₁ – s₃) – параметр Лоде, –1 < _s < 1.

53

Доказано, что система дифференциальных уравнений осесиммет-ричной теории предельного равновесия имеет два семейства действи-тельных характеристик (линий скольжения) и принадлежит к гипербо-лическому типу.

Каноническая система уравнений с использованием условия не-полной пластичности получена в виде

dr =dztga ± m , m = ^p - ^j , 2

ds ±2s tgjda= ^s tgj ms drcosj ±dzsinj)±dz +g dzmdrtgj),

где s s _r + _z /2 cctg – среднее приведённое напряжение; a – угол между направлением ₁ и осью ОZ.

Верхние знаки в уравнениях относятся к линиям скольжения пер-вого семейства, нижние – ко второму семейству.

Система уравнений будет статически определимой, если конкре-

тизировать значение параметра μ_s. При условии полной пластичности это достигается равенствами μ_s = –1 = const (при деформациях, на-правленных от оси) или μ_s= 1 = const (при деформациях к оси). Для условия неполной пластичности (–1< μ_s <1) определение параметра Лоде является специальной задачей.

Для идеально-связной среды (j = 0), с помощью замены переме-ной: s = s + gz, s = (s_r + s_z)/2, дифференциальные уравнения принима-ют вид:

_{dr = dz tg}_{a ± p} _{; ds ±2сda = с (dμ}s_{dr ±z),}  4 

которому отвечает следующее решение в малой окрестности оси сим-метрии:

_{dr = dz tg (a ±} p_{); ds ±4cda = 0.}

Необходимость перехода к условию неполной пластичности воз-никла при решении задачи о предельном давлении круглого штампа на основание при больших боковых пригрузках.

Установлено, что статическое решение существует для целого диапазона значений параметра Лоде: μ_s0 < μ_s < 1 , причём с увеличени-ем значения μ_s предельная нагрузка уменьшалась.

Поскольку на оси симметрии необходимо иметь μ_s= –1 (иначе на-пряжения у оси бесконечно возрастают), интегрирование в зонах ради-ального веера и под штампом осуществлялось при переменном значе-нии μ_s. Изменение μ_s было задано кусочно-линейной зависимостью от угла a:

54

p

μs = μs0 при a > 2; μs = –1 при a < 0;

m_s = 1+ m_s0 )² -1 _при

_{0£ a £} p _. 2

Согласно первой теореме теории пластичности, при статическом решении следует находить максимальную величину предельной нагруз-ки. Этой величине будет соответствовать минимально возможное значе-ние параметра m_s0 , при котором статическое решение существует.

Леденевым В.В. и Икониным С.В. проведено большое число по-левых и лабораторных опытов с моделями и натурными фундаментами на песчаных и глинистых грунтах естественной и нарушенной струк-туры. Особое внимание уделялось исследованию характера деформи-рования и разрушения основания незаглублённых и заглублённых фундаментов при разных схемах нагружения, оценке взаимного влия-ния подземных конструкций.

Установлено, что область деформирования грунта находится в пределах (1,5…4)d фундаментов. Напряжённое состояние песчаного основания естественного сложения, определённое по осыпанию песка с боковых стенок шурфов и траншей, распространялось до 5,5d от бо-ковой поверхности буронабивных фундаментов. Эти данные могут служить проверкой достоверности грунтовых моделей.

Леденев В.В. и Иконин С.В. и позднее совместно с А.В. Худяко-вым экспериментально определяли форму и размеры областей выпора грунта из-под подошвы и перед смещающейся боковой поверхностью буронабивных фундаментов при разных схемах нагружения, формах и размерах фундамента, плотности и вида грунта. Длина зон выпора дос-тигала (1…4)d от тела фундамента.