1. Модели грунтовых оснований

1.1. СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ В ГЕОЛОГИИ

Расчётной схемой инженерной задачи учитывается лишь ограни-ченное число показателей свойств горных пород [27]. Те или иные формы и особенности залегания горных пород могут быть учтены в расчёте сооружения лишь постольку, поскольку они отражаются на пространственном распределении тех свойств пород основания, кото-рые учитываются расчётной схемой.

В природе наряду с закономерными изменениями свойств пород в пространстве, имеющими чёткую геологическую интерпретацию, обычно наблюдаются хаотические колебания результатов испытаний вокруг некоторых средних значений. При этом возникает очень слож-ная картина нерегулярной изменчивости свойств пород основания. Чтобы ввести в расчёт информацию, содержащуюся в многочисленных результатах испытаний свойств пород, приходится прибегать к раз-личным упрощающим предположениям о пространственном распре-делении свойств.

Таким образом, приходят к выводу, что в проектно-строительном деле, как и в любой целенаправленной деятельности человека, полезно различать два уровня: уровень объектов и уровень моделей. Объекта-ми могут быть инженерное сооружение и тот участок земли, где оно должно быть возведено. Соответственно моделями являются проект сооружения и совокупность сведений о природных условиях строи-тельства, служащих обоснованием проекта. Эту совокупность сведе-ний о природных (и в том числе инженерно-геологических) условиях строительства называют моделью природных условий (и в том числе моделью естественного основания сооружения).

Соотношения между указанными реальными объектами и их мо-делями могут быть представлены в виде схемы;

3

Модели природных условий

2

Модель (проект) инженерного сооружения

1 4 5

6

Природные условия Инженерное сооружение

4

В качестве исходных используют три понятия: 1) «земная кора»,

2) «неоднородность»,

3) «определяющая область».

Под однородностью объекта по признаку L понимают независи-мость L в пределах объектах от координат пространства. Наоборот, неоднородным по признаку L считают объект, в пределах которого L зависит от координат.

Определяющей областью в задаче называют часть земной кары, свойства которой находят в результате решения этой задачи. Единст-венным свойством определяющей области является её характерный размер в трёх-, двух- или одномерном евклидовом пространстве в за-висимости от характера решаемой задачи. При этом понятие «харак-терный размер» определяющей области будет совпадать, очевидно, с понятием характерного размера в решаемой задаче, широко исполь-зуемым в механике.

Таким образом, по величине отношения размеров элементов не-однородности к размерам определяющей области эксперимента в каж-дой конкретной задаче выделяются:

1. Ультранеоднородность (неоднородность высшего порядка), выступающая в форме свойств эквивалентной однородной среды.

2. Микронеоднородность (эффективная неоднородность), обу-словливающая разброс значений результатов испытаний. Размер эле-ментов этой неоднородности на порядок-два меньше размера области воздействия.

3. Макронеоднородность (неоднородность низшего порядка), размер элементов которой больше размеров области воздействия или примерно равен ему.

Рассмотрены четыре классификации неоднородности горных пород: 1) по абсолютному размеру элементов неоднородности (неодно-

родность порядков 4-0);

2) по отношению размера элемента неоднородности к размеру определяющей области эксперимента ( макро-, микро- и ультранеод-нородность);

3) по отношению размеров элементов макронеоднородности к величине шага опробования («хаотическая» «пространственно корре-лированная» неоднородность);

4) по относительному размеру элементов макронеоднородности (низкочастотная и высокочастотная составляющие спектра неоднород-ности).

Среди моделей, используемых в инженерных расчётах, необхо-димо различать два класса моделей: физические (механические) и структурные (геометрические).

5

Назначение физической модели состоит в описании свойств гор-ных пород (главным образом механических) в физической точке. При-мерами физических моделей могут служить винклеровская модель, линейно-упругое тело, среда с линейным законом сопротивления фильтрации и т.д. Приняв ту или иную физическую модель горной породы, мы должны характеризовать её свойства соответствующими выборной модели параметрами. В приведённых примерах это будут коэффициент постели, модуль упругости и т.д.

Назначение структурной модели состоит в схематизированном описании естественной изменчивости параметров физических моделей между точками массива горных пород. Примерами структурных моде-лей могут служить слоистые модели, в которых каждый слой горных пород наделяется свойствами, отличными от свойств смежных слоёв, или градиентные модели, в которых параметры непрерывно меняются, например, с глубиной по тому или иному закону

Физические и структурные модели могут быть однородными или многомерными. Структурные модели полезно различать по их мерно-сти в физическом пространстве, выделяя объёмные, плоские и линей-ные модели.

Задачи научного управления и оптимизации проектно-изыска-тельских работ делают необходимым широкое применение в техниче-ской геологии структурных моделей. С ними теснейшим образом свя-заны три основные задачи:

1) исследование неоднородности горных пород;

2) учёт неоднородности в ходе разведки и опробования;

3) учёт неоднородности в расчёте инженерных сооружений. Наиболее целесообразно использовать статистические структур-

ные модели. Это обусловлено «статической природой» свойств горных пород, определяемых в относительно мелкомасштабных эксперимен-тах, нерегулярной изменчивостью усреднённых в малом характеристик и дискретным характером геологических наблюдений.

Структурные модели микронеоднородности горных пород и масштабные эффекты. Простейшим эффективным способом изуче-ния микронеоднородности и локальных распределений является ана-лиз влияния размера определяющей области экспериментов (размера проб) на распределение результатов опробования.

Структурные модели макронеоднородности. На стадии форми-рования осадков неоднородность является их характерной чертой. От-чётливо проявляется неоднородность разных уровней. В силу осадоч-ной дифференциации вещества, фациальной изменчивости условий осадконакопления и изменения режима осадконакопления во времени формируется неоднородность уровней 0 и 1. Относительно высокочас-тотная смена времени режима осадконакопления наряду с влиянием

6

силы тяжести приводит к формированию слоистости, часто к чередо-ванию слоёв разного состава и мощности.

Временные закономерности. В ходе геологической истории на разных этапах петрогенеза меняется геологическая природа неодно-родности. Примером могут служить различия в природе фильтрацион-ной неоднородности чередующихся песков и глин, с одной стороны, и трещиноватых песчаников и сланцев, с другой.

Пространственные закономерности. Процессы петрогенеза раз-деляют на три группы: 1) процессы образования и преобразования по-род, связанные с действием геофизических полей и, в первую очередь, силы тяжести, приводящие к вертикальной зональности свойств пород; 2) процессы, формирующие неоднородность свойств пород в горизон-тальном направлении и связанные с осадочной дифференциацией и фациальной изменчивостью; 3) наложенные процессы, связанные в большинстве случаев с действием более или менее чётко локализован-ных в пространстве «источников возмущений» (дневная поверхность, контакты интрузий с вмещающими породами и т.п.).

Уплотнение горных пород с глубиной. Закономерные измене-ния физических свойств горных пород в вертикальном направлении в большинстве случаев определяются двумя факторами: действием гео-физических полей (главным образом гравитационного, в меньшей сте-пени теплового) и изменением литологического состава пород по раз-резу. Важную роль играет и возраст пород, тех или иных агентов. Воз-никает сложная картина изменчивости свойств пород по глубине, от-ражающая конкретную геологическую историю исследуемого масси-ва. Изменчивость, связанная с литологическим составом пород, полно-стью определяется особенностями исследуемых разрезов.

Градиентная модель полностью характеризуется видом и пара-метрами функций L(x, y, z). Однако ясно, что в действительности по относительно простому закону может меняться в плане или в разрезе лишь среднее значение свойства L. Таким образом, в качестве расчёт-ной функции L(x, y, z) практически приходится использовать уравне-ние тренда. Следовательно, как и для кусочно-однородных моделей, не удаётся полностью избежать осреднения. Избегают его лишь частично, вводя в расчёт информацию о низкочастотной составляющей неодно-родности.

1.2. МОДЕЛЬ МЕСТНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ (ФУССА–ВИНКЛЕРА)

Фусс Н.И., русский академик, в 1798 г. исследовал процесс дви-жения колеса конной повозки с образованием колен, т.е. рассматривал локальное развитие деформаций под нагруженной площадкой. Дефор-мации были полностью необратимыми. По такой схеме ведут себя рыхлые и слабо уплотнённые насыпные грунты [7].

7

Винклер Э. предложил модель грунта в виде системы ничем не связанных между собой упругих пружин. При нагружении локальной нагрузкой будут сжиматься пружины, непосредственно расположен-ные под площадкой нагружения. После снятия нагрузки пружины пол-ностью распрямляются. При такой модели упругая среда не обладает распределительной способностью. Её рассматривают как гидростати-ческое упругое основание [28]. Под влиянием нагрузки балка прогиба-ется и опускается в воду на величину прогиба y. При этом по закону Архимеда создаётся направленная вверх погонная сила

p -gby ,

где g – удельный вес жидкости; b – ширина балки.

Реакция со стороны жидкости пропорциональна прогибу. Эту схему используют для расчёта фундаментов. Вместо g вводится коэф-фициент жёсткости или постели с или k (Н/см³). Так, что

p cby.

Дифференциальное уравнение упругой балки, к примеру, имеет вид:

EIy⁴ = q = q⁰ - p = q⁰ -cby

или

EIy⁴ +cby = q⁰ ,

где q⁰ – внешняя нагрузка.

В ряде случаев принимают переменную величину коэффициента постели в одном направлении с(х) или в двух с(х, у). При расчёте свай свайных фундаментов на действие вертикальной и горизонтальной нагрузок, момента (метод К.С. Завриева) принимают переменное по глубине значение коэффициента постели:

с_z = k_z = s_z/y_z ,

где k – коэффициент пропорциональности, кН/м⁴. Дифференциальное уравнение изогнутой оси сваи

EId⁴y_z /d z⁴ – y_z b_p k_z= 0,

где b – расчётная ширина сваи;

b_p = K_ф(1,5d + 0,5) при d £ 1,0 м;

b_p = K_ф(d + 1) при d ³ 1,0м; K_ф – коэффициент формы.

8

При расчёте свайного фундамента между боковой поверхностью сваи и грунтом вводят горизонтальные связи, их устанавливают и под торцом сваи.

Жёсткость горизонтальных упруго податливых связей

B_z = b_p tk_z.

При z = 0, B_{z = 0} = b_p kt²/8; при z = h, B_z = h = b_pkht/2,

где h – глубина подошвы сваи; t – расстояние между связями. Филоненко-Бородич М.М. (1940) усовершенствовал модель, на-

делив её распределительной способностью. Он дополнительно ввёл мембрану, перекрывающую с поверхности упругие элементы. При этом включаются в деформирование зоны под площадкой нагружения и прилегающие области полупространства. Ниже рассмотрены и дру-гие предложения по усовершенствованию модели Винклера.

1.3. МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНО-ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ

Линейно-деформируемая среда [7 – 9, 26]. В этой модели ис-пользуют уравнения линейной теории упругости. Вводятся допущения о сплошности (гипотеза сплошной среды); однородности; изотропно-сти, идеальной упругости; линейной деформируемости с малыми де-формациями и перемещениями, подчиняющимися обобщённому зако-ну Гука, вне зависимости от объёма, об отсутствии начальных напря-жений; допустимости принципа Сен-Венана (в точках твёрдого тела, достаточно удалённых от мест приложения внешних нагрузок на ма-лой поверхности тела, напряжения почти не зависят от их распределе-ния по этой малой поверхности тела, а зависят только от главного век-тора и главного момента заданных сил).

Рассматривают три основных направления задач теории упругости: 1. Неизвестными являются перемещения точек

u = f₁(x, y, z), v = f₂(x, y, z), w = f₃(x, y, z).

Для решения необходимо в физические уравнения подставить геометрические соотношения, а полученные данные – в три уравнения равновесия:

y₁(u, v, w) = 0, y₂(u, v, w) = 0, y₃(u, v, w) = 0.

Эти операции называют методом перемещений. Основная систе-ма уравнений метода перемещений (уравнения Ляме) является синте-зом статического, геометрического и физического соотношений.

2. Неизвестными являются напряжения

s_x = j₁(x, y, z), s_y = j₂ (x, y, z), s_z = j₃(x, y, z);

t_xy = j₁(x, y, z), t_yz = j₂(x, y, z), t_zx = j₃(x, y, z).

9

Для решения применяют уравнения деформаций, например, не-разрывности деформаций, физические и статические уравнения. В ре-зультате приходят к соотношениям:

F₁(s_x, …, t_yz) = 0, …, F₆(s_x, …, t_yz) = 0.

Этот метод называется методом сил.

3. За основные неизвестные приняты некоторые перемещения и напряжения.

Закон Гука. При линейном растяжении

e_x = s_x/E,

где e_x – относительное удлинение в направлении оси х; Е – модуль упру-гости при растяжении.

Используя принцип наложения (суперпозиции), получим обоб-щённый закон Гука при одновременном действии трёх нормальных напряжений [29, 32, 33]:

e_x = 1/E[s_x –n(s_y + s_z)], e_y = 1/E[s_y – n(s_yx + s_z)],

e_z = 1/E[s_z – n(s_z + s_y)];

_s xy₌ 2(1+ n) _txy_;

21+ n) 2(1+ n)

^yz E ^{yz zx zx}

e_x +e_y +e_z = ^{1- 2n} (d_x + d_y + d_z ); s_ср = ¹(d_x + d_y + d_z ) ;

e_ср = ¹ e_x +e_y +e_z ).

Приведём зависимости между деформациями сдвига и касатель-ными напряжениями. При чистом сдвиге (нормальные напряжения на всех гранях равны нулю)

t = 1/2s (s_z = s, s_y = –s, s_x = 0);

g = 2(1 + n)t/E, G = E/[2(1 + n); g = t/G;

g_xy = t_xy /G, g_xz = t_xz/G, g_zx = t_zx/G,

G – модуль упругости при сдвиге или модуль сдвига.

Зависимость между объёмным расширением и суммой нормаль-ных напряжений q имеет вид

e = 1 2 q / E ^.

10

Уравнения равновесия:

∂ s _{x +} ^t_{xy +} ∂ t_{xz + F = 0;} ∂ x ∂ y ∂ z

∂ s _{y +} t_{yx +} ∂ y ∂ x

^tyz + F = 0; . ∂ z

^{∂s z} + ^{∂ tzx} + ^{∂ tzy} + F = 0. ∂ z ∂ x ∂ y

В тензорной символике имеем:

^sij + F = 0_. ∂ x_j

При движении среды

^{¶sij (t)} + F (t) = r ^¶2^u .

_j t

Закон парности касательных напряжений имеет вид: _xy t_yx, _{xz zx}.

При условии сплошности среды перемещения как функции коор-динат будут непрерывными:

u u(x, y,z) ; v = v(x, y,z) ; w = w(x, y,z).

Относительные перемещения по направлению координатных осей:

e = ^¶ ;_.

¶x

e_y = ^¶v ;

e = ^∂w. ∂z

Выполняется тождество

₁ e + ₃ = _x +e_y + _z,

где индексы 1, 2, 3 относятся к главным осям. Кроме того:

^dV =e +e +e = q = ^u + ^¶v + ^¶w, x y z

где – объёмная сжимаемость.

11

По соотношению Коши

¶v ₊ ¶u _=gxy_; ¶w ₊ ¶v _=gyz_;

^∂w+ ^u =g . ∂x ∂z