Лабораторные работы по численным методам / 4 / лаба№4 / Отчёт№4

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации  ФГБОУ ВПО «ПГСХА им. Академика Д.Н. Прянишникова»

Кафедра информационных технологий и автоматизированного проектирования

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4

Решение нелинейного алгебраического уравнения.

Вариант №11

Выполнил:

Студент гр.ПИб-21а Юркин Владислав

Проверил: Профессор каф. ИТАП М.Г. Бояршинов

Пермь 2015

Задание. Для заданного алгебраического уравнения:

• Выбрать отрезок, на котором имеется хотя бы один корень;

• Проверить условия применимости (сходимости) методов Ньютона, половинного деления и простых итераций;

• Разработать вычислительную программу, реализующую метод половинного деления;

• Вычислить корень уравнения с погрешностью не более δ=10^-6;

• Оценить быстродействие вычислительной программы.

Выполнение расчётов

Рис. 1 График функции и значения функции на отрезке [2;3].

На рисунке 1 показана часть непрерывной функции . Из этого рисунка очевидно, что корень уравнения лежит на отрезке [2;3]. На концах этого отрезка функция принимает значения с разными знаками: соответственно. Следовательно, выполнены условия сходимости метода половинного деления.

Задано уравнение преобразуется к требуемому виду:

,

то есть Для проверки условий сходимости последовательности получаемых решений необходимо определить производную этой функции:

Рис.2 График производной.

В рассматриваемом случае функция на отрезке [2,3] монотонна (рис.2), поэтому в качестве константы Лейпшица принимается . Очевидно что С<1.

А , то 2,3826 > 0,36055.

Соответственно метод простых итераций не подходит.

Определяем первую и вторую производные функции

Находим М₁=0,7697 и М₂=0,2021, С=≈0,0656<1.

Таким образом, условия сходимости теоремы выполнены, и последовательность метода Ньютона должна сходится.

Рис.3 Погрешность решения методом половинного деления в зависимости от номера итерации.

Выводы

1. Разработана программа решения нелинейного алгебраического уравнения

методом половинного деления.

2. Уменьшение погрешности решения с ростом числа итераций (см. рис.3) свидетельствует о сходимости последовательности решений заданного нелинейного алгебраического уравнения, получаемых с помощью метода половинного деления.

3. С помощью разработанной программы найдено решение х=2,515456 заданного нелинейного алгебраического уравнения с погрешностью не более 10^-6:

4. Для решения заданной системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя на компьютере с четырьмя процессорами AMD A6-5200 APU (тактовая частота 2.00 ГГц, объём оперативной памяти 4,00Гб) требуется 0,46 секунд.