Лабораторные работы по численным методам / 4 / Отчёт №4

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации  ФГБОУ ВПО «ПГСХА им. Академика Д.Н. Прянишникова»

Кафедра информационных технологий и автоматизированного проектирования

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4

Решение нелинейного алгебраического уравнения.

Вариант №2

Выполнил:

Студент гр.ПИб-21а Вятченин Александр

Проверил: Профессор каф. ИТАП М.Г. Бояршинов

Пермь 2015

Задание.

Для заданного алгебраического уравнения :

• Выбрать отрезок, на котором имеется хотя бы один корень;

• Проверить условия применимости (сходимости) методов Ньютона, половинного деления и простых итераций;

• Разработать вычислительную программу, реализующую метод половинного деления;

• Вычислить корень уравнения с погрешностью не более δ=10^-6;

• Оценить быстродействие вычислительной программы.

Выполнение расчётов

Рис. 1 График функции на отрезке [0;1,5].

На рисунке 1 показана часть непрерывной функции . Из этого рисунка очевидно, что корень уравнения лежит на отрезке [0;1,5]. На концах этого отрезка функция принимает значения с разными знаками: соответственно. Следовательно, выполнены условия сходимости метода половинного деления.

Задано уравнение преобразуется к требуемому виду:

,

то есть Для проверки условий сходимости последовательности получаемых решений необходимо определить производную этой функции:

Таблица 1. Значения функции на отрезке [0;1,5].

x	f
0	0,1
0,1	0,000266583
0,2	-0,098469331
0,3	-0,195220207
0,4	-0,289018342
0,5	-0,378925539
0,6	-0,464042473
0,7	-0,543517687
0,8	-0,616556091
0,9	-0,68242691
1	-0,740470985
1,1	-0,79010736
1,2	-0,830839086
1,3	-0,862258185
1,4	-0,88404973
1,5	-0,895994987

Рис.2 График производной.

В рассматриваемом случае функция на отрезке [0;1,5] монотонна (рис.2), поэтому в качестве константы Лейпшица принимается 0,985004165. Очевидно что С<1.

А , то 0,36055>2,3826.

Соответственно метод простых итераций подходит.

Определяем первую и вторую производные функции

Находим М₁ = 0,997494987 и М₂ = 0,060737202, С=≈0,02435<1.

Таким образом, условия сходимости теоремы выполнены, и последовательность метода Ньютона должна сходится.

Рис.3 Погрешность решения методом простых итераций в зависимости от номера итерации.

Выводы

1. Разработана программа решения нелинейного алгебраического уравнения

методом простых итераций.

2. Уменьшение погрешности решения с ростом числа итераций (см. рис.3) свидетельствует о сходимости последовательности решений заданного нелинейного алгебраического уравнения, получаемых с помощью метода простых итераций.

3. С помощью разработанной программы найдено решение х = 0,001 заданного нелинейного алгебраического уравнения с погрешностью не более 10^-6

4. Для решения заданного нелинейного алгебраического уравнения методом простых итераций на компьютере с двумя процессорами Intel® Core™ i5-3317U (тактовая частота 1.70 ГГц, объём оперативной памяти 4,00Гб) требуется 2,06*10^-6 секунд.