Лабораторные работы по численным методам / 5 / Отчёт №5
.docxМинистерство сельского хозяйства Российской Федерации ФГБОУ ВПО «ПГСХА им. Академика Д.Н. Прянишникова»
Кафедра информационных технологий и автоматизированного проектирования
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7
Аппроксимация функции полиномом Лагранжа
Вариант №2
Выполнил:
Студент гр.ПИб-21а Вятченин Александр
Проверил: Профессор каф. ИТАП М.Г. Бояршинов
Пермь 2015
Задание
Аппроксимировать функцию на отрезке [0;2𝜋] с использованием полинома Лагранжа. Исследовать сходимость последовательности полиномов на равномерной и чебышёвской сетках.
Выполнение расчётов
Пусть на отрезке [0;2𝜋] построена равномерная сетка, содержащая 5 узлов. Воспользуемся аналитической зависимостью для табличного задания значений функции. Узловые координаты и соответствующие им значения приведены в таблице 1. Полином Лагранжа, аппроксимирующий функцию , заданную таблично на отрезке [0;2𝜋] с помощью равномерной сетки, содержащей 5 узлов, имеет вид:
Аналогичным образом строятся аппроксимации на сетках, содержащих 3,9,17,33 и 65 узлов. Вид соответствующих функций приведён на рисунке 1. На рисунке 2 показана зависимость погрешности аппроксимации полинома заданной функции
на равномерных сетках, .
Для повышения точности аппроксимации функции полиномом Лагранжа воспользуемся чебышёвской сеткой на отрезке [-1;1]: .
Полином Лагранжа, аппроксимирующий таблично заданную функцию на том же отрезке с помощью чебышёвской сетки, содержащей 5 узлов, имеет вид:
Аналогично строятся полиномы Лагранжа на чебышёвских сетках, содержащих 3, 9, 17, 33 и 65 узлов. Вид соответствующих полиномов приведён на рисунке 3.
На рисунке 4 показана зависимость погрешности аппроксимации
полиномами заданной функции на последовательности чебышёвских сеток.
Таблица 1. Табличное задание функции и значения соответствующих разделённых разностей для равномерной сетки на отрезке [0;2𝜋]
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0,90031632 |
|
|
|
0,785398 |
0,707106781 |
|
-0,335748867 |
|
|
|
|
0,37292323 |
|
-0,226710138 |
|
1,570796 |
1 |
|
-1,04797977 |
|
0,130237243 |
|
|
-1,27323954 |
|
0,591594597 |
|
3,141593 |
1,22515E-16 |
|
0,810569469 |
|
|
|
|
1,5599E-16 |
|
|
|
6,283185 |
2,4503E-16 |
|
|
|
|
Рис. 1. Аппроксимация на отрезке [0;2𝜋] функции полиномами Лагранжа , построенными с использованием равномерных сеток.
Рис. 2. Погрешность аппроксимации функции полиномами Лагранжа на отрезке [0;2𝜋] в зависимости от номера n итерации на равномерных сетках.
Таблица 2. Табличное задание функции и значения соответствующих разделённых разностей для чебышёвской сетки на отрезке [0;2𝜋]
-0,9511 |
0,9511 |
|
|
|
|
|
|
-1,0 |
|
|
|
-0,5878 |
0,5878 |
|
0,0 |
|
|
|
|
-1,0 |
|
1,1056 |
|
0 |
0 |
|
1,7013 |
|
-1,1625 |
|
|
1,0 |
|
-1,1056 |
|
0,5878 |
0,5878 |
|
0,0 |
|
|
|
|
1,0 |
|
|
|
0,9511 |
0,9511 |
|
|
|
|
Рис. 3. Аппроксимация на отрезке [0;2𝜋] функции полиномами Лагранжа , построенных с использованием чебышёвских сеток.
Рис.4. Погрешность аппроксимации функции полиномами Лагранжа на отрезке [0;2𝜋] в зависимости от номера n итерации при использовании чебышевских сеток.
Выводы
1. Разработана программа для аппроксимации заданной функции полиномом Лагранжа на указанном отрезке с использованием равномерных сеток.
2. С помощью разработанной программы исследована последовательность полиномов Лагранжа, аппроксимирующая заданную функцию на сетках 3, 9, 17, 33 и 65 узлами. Показано, что для заданной функции последовательность полиномов Лагранжа на равномерных сетках расходится.
3. Разработано программа для аппроксимации заданной функции полиномом Лагранжа на указанном промежутке с использованием чебышевских сеток.
4. С помощью разработанной программы исследована последовательность полиномов Лагранжа, аппроксимирующая заданную функцию на сетках 3, 9, 17, 33 и 65 узлами. Показано, что для заданной функции последовательность полиномов Лагранжа на чебышёвких сетках сходится.