Л2 Надежность ИС

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Пермская государственная сельскохозяйственная академия имени академика Д.Н.Прянишникова»

Факультет прикладной информатики Кафедра ИТАП

НАДЕЖНОСТЬ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

специальность 230201 «Информационные системы и технологии»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

тема: «РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ»

(различные законы распределения времени работы до отказа)

Структура:

1.Сведения из теории

2.Постановка задачи

3.Последовательность решения

4.Задание для самостоятельного решения

Пермь, 2011

I.СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Вбольшинстве случаев решение вопросов, связанных с обеспечением надежно-

сти, предполагает качественное и количественное изучение объектов исследования. Ис-

следование в каждом конкретном случае специфики объектов на качественном уровне по-

зволяет установить основные критерии отказов, причины их возникновения, пути повы-

шения надежности и т.д. Решение этих задач невозможно без использования теории веро-

ятностей, математической статистики, методов оптимизации. В частности, приемы и ме-

тоды количественного анализа дают возможность исследовать функции распределения вероятностей случайных величин и оценки их основных моментов и квантилей, проведе-

ния структурного анализа и моделирования систем и процессов. В теории надежности ис-

пользуются следующие законы распределения времени работы до отказа объекта (систе-

мы): Вейбулла, гамма-распределение, Релея, экспоненциальный, усеченный нормальный,

нормальный, равномерный. В предложенной работе рассматривается лишь часть законов,

для определения которых приняты следующие обозначения:

W – Вейбулла;

Г – гамма;

R – Рэлея;

Exp – экспоненциальный.

Распределения Вейбулла и гамма-распределение являются двухпараметрическими

(имеют два параметра распределения).

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение имеют следую-

щую взаимосвязь с параметрами распределений:

Таблица 1. Связь параметров распределений с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением

 Гамма-функция - Г( ) x 1e xdx.

0

2

Для вычисления вероятности безотказной работы и плотности распределения времени до отказа элементов используют аналитические выражения, приведенные в таблице 2.

Таблица 2. Некоторые законы распределения вероятностей

функция*.

II. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Нерезервированная система состоит из 4 элементов. Элементы имеют различные законы распределения времени работы до отказа. Виды законов распределения приведены в таблице 3. В скобках указаны параметры распределений.

Таблица 3. Законы распределения времени до отказа

Элементы в данной нерезервированной невосстанавливаемой системе имеют последовательное (основное) соединение (рис.1).

Рис. 1. Нерезервированная система, состоящая из 4 элементов

споследовательным соединением.

*В Excel неполная гамма-функция реализуется следующий образом: в ячейку А1 помещают первый аргумент (значение ), в ячейку А2 – второй аргумент (значение t), в ячейку А3 – функция:

А3=ГАММАРАСП(А2; А1;1;1). Результатом является значение неполной гамма-функции.

3

раметр формы), а в ячейку С2 необходимо поместить функцию

ЕХР(ГАММАНЛОГ(А2)), результатом является значение гамма-функции (рис.3).

Рис.3. Вычисление значения гамма-функции.

Учитывая формулу для нахождения математического ожидания (табл.1) -

Г(1 1/ ), в ячейку С10 необходимо ввести: =$B$2*EXP(ГАММАНЛОГ(1+1/$A$2)).

Для нахождения значения среднего квадратического отклонения времени без-

отказной работы необходимо знать значение гамма-функции с параметром, равным

(1+1/ ) и (1 2/ ) (табл.1). Значение гамма-функции с параметром (1 2/ ) уже извест-

но – в ячейке С2 (так как 1+2/2=2). Значение гамма-функции с параметром (1+1/ ) вы-

числяется по следующему принципу: в ячейку D2 ввести формулу

ЕХР(ГАММАНЛОГ(1,5)). Аргумент равен 1,5 исходя из условия: 1+1/2. Результат на

рис. 4.

Рис. 4. Значение гамма-функции с параметром (1 2/ ).

Теперь возможно найти . Для этого необходимо в ячейку С11 ввести формулу

=$B$2*КОРЕНЬ($C$2-$D$2^2). Результат представлен на рис.5.

Рис. 5. Результат нахождения .

5

Элемент №2. Гамма-распределение с параметром формы 7 и параметром

масштаба 300: согласно формуле для нахождения математического ожидания в гамма-распределении (табл.1) в ячейку D10 ввести =A3*B3 (так как m=7*300). Для нахождения используем формулу из таблицы 1, вводя ее в ячейку D11. Результат на рис.6:

Рис.6. Вычисление среднего квадратического отклонения времени безотказной работы

Элемент №3. Распределение Рэлея с параметром 8*10 8 : для расчета матожидания значение параметра лучше вычислить заранее. Для этого в ячейку А4 перед данными параметра ставиться знак = и нажимается Enter. Значение параметра приняло вид

0,00000008.

Согласно описанным в таблице 1 формулам для m и , в ячейку E10 помещаем выражение =КОРЕНЬ(3,14/(4*$A$4)), в ячейку E11 =КОРЕНЬ((4-3,14)/(4*$A$4)). Результат представлен на рис.7:

Рис. 7. Вычисление m и для элемента №3.

Элемент №4. Экспоненциальное распределение с параметром 0,0002: при

экспоненциальном законе m= . Для ячеек F10, F11 имеет смысл =1/$A$5. Результат

представлен на рис.8:

6

P1(t) e 1800 таким образом, для ячейки D16 необходима следующая формула =

=EXP(-(СТЕПЕНЬ(C16/$B$2;2))).

Элемент №2. Гамма-распределение:

мула =1-ГАММАРАСП(C16/$B$3;$A$3;1;1).

Элемент №3. Распределение Рэлея:

P3(t) e 8*10 8t2 , таким образом, формула для ячейки F16 имеет вид =EXP(- $A$4*(СТЕПЕНЬ(C16;2))).

Элемент №4. Экспоненциальное распределение:

P4(t) e 0,0002t, таким образом, формула для ячейки G16 =EXP(-$A$5*C16).

Необходимо табулировать эти функции от 0 до 2000 часов с шагом 100 часов.

7.Самостоятельно вычислите вероятность безотказной работы для всей систе-

мы. Сравните полученный результат со значениями, приведенными на рис.10.

Рис.10. Вероятность безотказной работы каждого элемента и всей системы за время 2000 ч., с интервалом 100 ч.

8.По полученным данным постройте графики функций, соответствующие ве-

роятностям безотказной работы элементов (рис.11) и вероятности безотказной работы

8

системы (рис.12). По первому графику проследите различное поведение вероятностей безотказной работы элементов. Какие элементы оказываются наиболее надежными при большом времени работы?

IV. ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Самостоятельное определение плотность распределения времени до отказа, ин-

тенсивность отказов каждого элемента. Решение необходимо получить в виде таблиц и графиков.

9