20. Факторный эксперимент и метод крутого восхождения.

Одной из основных идей планирования эксперимента является выбор экспериментальных точек. Факторный эксперимент обеспе­чивает наиболее удобный для описания процесса выбор точек фак­торного пространства, при этом обеспечивается и свойство ортого­нальности. Факторный эксперимент применяется в тех случаях, ко­гда неизвестная поверхность достаточно гладкая и не имеет много­численных локальных экстремумов, например при определении за­висимостей от различных факторов свойств химических и физиче­ских процессов. Факторный анализ используется и при обработке большого числа экономических данных, собранных органами госу­дарственной статистики, если исследуемые свойства экономическо­го процесса достаточно гладко меняются при варьировании отдель­ных факторов.

При построении полного факторного эксперимента управляю­щие переменные x_i принимают только два возможных значения: +1 или -1. К такой схеме планирования можно свести любой экспери­мент.

Число опытов факторного эксперимента можно сократить, при­меняя так называемый дробный факторный эксперимент (дробные реплики от полного факторного эксперимента). Однако уменьшение числа опытов полного факторного эксперимента при сохранении всех его расчетных преимуществ может сопровождаться неприят­ным явлением взаимного влияния различных эффектов при необос­нованном пренебрежении некоторыми взаимодействиями.

Основные преимущества и возможности факторного экспери­мента:

2. очень просто производятся все вычисления;

3. можно получать математическое ожидание процесса, как в форме линейного уравнения, так и с учетом взаимодействий;

4. все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга, что дает некоторую возможность рассматривать уравнение регрессии как физическую модель процесса;

5. все коэффициенты уравнения регрессии определяются с оди­наковой и минимальной дисперсией;

6. применение дробного факторного эксперимента и насыщен­ного планирования позволяет уменьшать число опытов полного факторного эксперимента;

7. имеется возможность исключать временной дрейф.

Рассмотрим метод крутого восхождения с применением фак­торного эксперимента. Определение оптимальных условий проте­кания экономических, химических, физических и металлургиче­ских процессов, или задача определения оптимального состава компонентов системы, всегда решалась чисто интуитивно. При по­пытке дать строго обоснованные методы решения этой задачи при­ходится сталкиваться с большими трудностями. Чтобы найти оп­тимум, нужно дать описание поверхности отклика в широком ин­тервале варьирования независимых переменных. Адекватное опи­сание таких больших участков поверхности требует очень большо­го числа опытов.

Для решения этой задачи используется последовательный, поша­говый метод изучения поверхности отклика. Исследователь вначале ставит серию опытов для описания небольшого участка поверхности отклика полиномом 1-го порядка. Далее он двигается по поверхно­сти отклика в направлении градиента линейного приближения. Если одного линейного приближения оказывается недостаточно, то ста­вится новая небольшая серия опытов и находится новое направление для движения по поверхности отклика. Такой процесс продолжается до тех пор, пока исследователь не попадет в окрестность экстрему­ма. Если требуется более точно определить положение оптимума, то ставится большая серия опытов, и поверхность отклика описывается полиномом 2-го, а иногда даже 3-го порядка. При таком подходе к задаче достигается весьма высокая концентрация опытов в той части поверхности отклика, которая преимущественно интересует иссле­дователя.

Градиент функции отклика может быть задан выражением

где - единичные векторы в направлении осейфакторного пространства.

Движение в направлении градиента - это движение по кратчай­шему, наиболее крутому пути; отсюда название «крутое восхожде­ние» (если отыскивается максимум функции) или «наискорейший спуск» (минимум функции).

Здесь следует отметить несколько разновидностей движения по поверхности отклика. Если бывает затруднительно определить гра­диент, используют метод Гаусса-Зейделя. По этому методу производится поочередное изменение каждого параметра в направлении оптимума с помощью пробных шагов. Это относительно длинный путь к оптимуму. Сам метод градиента тоже имеет несколько разновидностей. Градиент может вычисляться на основе выполнения од­ного пробного шага по каждой переменной (для двух переменных будет использоваться одна центральная точка и две пробных).

Более точно градиент может быть вычислен, если известно ли­нейное приближение поверхности отклика, полученное по числу точек, превышающему число переменных. Боксом и Уилсоном предложено определять градиент по линейному приближению по­верхности отклика на основе дробного факторного эксперимента. Если градиент рассчитывается заново после каждого шага решения, то это метод градиента. Если же в направлении градиента выполня­ется несколько шагов до тех пор, пока не перестанем приближаться к оптимуму, то это метод крутого восхождения или наискорейшего спуска.

Рассмотрим метод крутого восхождения при определении гради­ента по линейному приближению поверхности отклика, полученно­му на основе факторного эксперимента. На рис. 7.6 нанесены кривые равного уровня поверхности отклика для двух независимых пере­менных. Если построить нормали к кривым равного уровня, то по­лучим направления градиента. Движение из точки О в направлении ОР - это наиболее крутой путь подъема по поверхности отклика. В направлении ОР исследователь будет двигаться до тех пор, пока не перейдет точку Q,. В окрестности точки Q надо будет поставить новую серию опытов и заново найти направление градиента (QM).

Если поверхность отклика локально может быть описана линей­ным уравнением, то частные производные, очевидно, будут равны коэффициентам уравнения регрессии

В этом случае при движении по поверхности отклика в направ­лении крутого восхождения нужно будет независимые переменные изменять пропорционально величине соответствующих коэффици­ентов регрессии с учетом их знака. При постановке экспериментов всегда приходится переходить к натуральным переменным. В нату­ральных переменных величина шага должна быть пропорциональна произведению b_i на единицу варьирования.