
- •1.Основные понятия теории множеств.
- •2.Операции над множествами.
- •3.Соответствия, отображения и функции.
- •4. Отношения на множествах
- •5. Операции на множествах, понятие алгебры
- •6. Алгебра Кантора. Законы алгебры Кантора
- •7. Алгебраические системы. Решетка Хассэ
- •8.Задание множеств конституентами (числом)
- •9. Основные понятия комбинаторики
- •10. Размещения
- •11. Перестановки
- •12. Сочетания
- •13. Треугольник Паскаля
- •14. Бином Ньютона
- •15. Задание графов
- •16. Свойства графов
- •17. Понятие о задачах на графа
- •18. Понятие о переключательных функциях
- •19. Двоичные переключательные функции и способы их задания
- •20. Основные логические операции
- •21. Элементарные переключательные функции
- •22. Определение свойств переключательных функций
- •23. Функциональная полнота систем переключательных функций. Теорема Поста о функциональной полноте систем пф
- •24. Переключательные схемы - техническая реализация пф
- •25. Основные законы булевой алгебры пф
- •26.27. Формы представления переключательных функций. Сднф. Скнф
- •28. Цели минимизации пф
- •29. Основные понятия минимизации пф
- •30. Метод Квайна-Мак-Класки
- •31.32. Задание пф картой Карно. Карта Карно на три и четыре переменных
- •33. Минимизация на кубе соседних чисел
- •35. Основные определения теории автоматов
- •36. Описание конечных автоматов таблицами переходов-выходов и графами
- •37. Техническая интерпретация конечного автомата
- •38. Синтез комбинационных автоматов в заданном базисе
- •39. Элементарные автоматы памяти
- •40. Системы счисления - основа различных кодов
- •41. Представление информации в эвм
13. Треугольник Паскаля
Сочетаниями без повторений занимался еще великий Паскаль. Он предложил специальную таблицу значений сочетаний без повторений.
Значения
представлены в табл. 6, которая называется
треугольником Паскаля.
Таблица 6
Треугольник Паскаля
k n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
3 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
4 |
1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
|
|
|
|
5 |
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1 |
|
|
|
6 |
1 |
6 |
15 |
20 |
15 |
6 |
1 |
|
|
7 |
1 |
7 |
21 |
35 |
35 |
21 |
7 |
1 |
|
8 |
1 |
8 |
28 |
56 |
70 |
56 |
28 |
8 |
1 |
Заметим,
что
.
Этот треугольник удивительно красив своей математической красотой, и в его числах можно при желании отыскать различные закономерности. Его можно представить несколько иначе – в виде [26]: равнобедренного треугольника (рис. 10).
Рис. 10. Треугольник Паскаля
Здесь каждое число, кроме единиц на боковых сторонах, является суммой двух чисел, стоящих над ним. Поэтому:
(приводим к общему знаменателю)
(выносим n! за скобку в знаменателе)
Из этого соотношения и вытекает эффективный способ рекуррентного вычисления значений биномиальных коэффициентов.
Докажем
соотношение 1)
Это
может использоваться при вычислениях,
например, вместо
можно вычислить
.
Докажем
соотношение 2)
14. Бином Ньютона
Имеется
формула, называемая биномом Ньютона,
которая использует выражения числа
сочетаний с повторениями
где а, b – действительные или комплексные числа.
Например:
Коэффициенты
называются биномиальными.
Докажем формулу бинома Ньютона по индукции. Доказательство по индукции предполагает:
1) базис индукции – доказательство того, что формула верна для конкретного n, например, для n=1. В нашем случае мы убедились, что формула верна для n=2,3,4. Убедимся, что она верна и для n=1.
2) индукционный шаг. Предполагая, что формула верна для некоторого n, убеждаются, что тогда она верна и для n+1.
3) при истинности шагов 1 и 2 заключают, что формула верна для любого n.
Приступим к индукционному шагу.
Возьмем
выражение
и получим из него выражение для n+1.
Очевидно, что это можно сделать путем
умножения на a+b:
Преобразуем полученное выражение:
Для выполнения индукционного шага необходимо показать, что это выражение равно выражению:
.
Рассмотрим
подвыражение выражения (1):и заменимi
на i-1.
Получим
,
т.е. одинаковые коэффициенты
перед выражениями
,
для числа сочетаний в первом и втором
подвыражении выражения (1).Это позволит
вынести
за скобку. Но тогда в
не учтенn-й
член подвыражения
(суммирование идет доn):
тогда, учитывая его, получаем:
Нетрудно
видеть, что
можно заменить
на
,
кроме того, мы уже доказали, что
,
поэтому:
,
что, очевидно, равно выражению:
.
По индукции получаем, что формула бинома Ньютона верна для любого n.
С использованием бинома Ньютона докажем следствие №1 о количестве подмножеств множества из n элементов:
Рассмотрим
следствие №2:
.
На использовании бинома Ньютона основано понятие производящей функции – функции, позволяющей получать комбинаторные числа без вычисления факториала:
.
Здесь
– функция, производящая биномиальные
коэффициенты.
При
n=1
получаем 1+x,
т.е.
(коэффициент перед 1),
(коэффициент передx).
При
n=2
получаем (1+x)2=1+2x+x2,
т.е.
и
т.д.