матан 1-10

1. постоянные и переменные величины. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Основные свойства.

К постоянным величинам относят величины которые не меняются при рассматриваемом процессе. Пр: число π = 3,14

К переменным относятся величины которые могут изменятся. Пр: давление, температура.

Бесконечная переменная величина α называется бесконечно малой величиной если в процессе своего изменения она по абсолютной величине становится и в дальнейшем остается меньше любого угодно малого наперед заданного положительного числа. ξ > 0. α→0 – Б.М.В

Свойства Б.М.В. 1)алгибраическая сумма конечного числа Б.М.В. есть величина бесконечно малая. 2) произведение Б.М.В. на постоянную величину есть величина Б.М. 3)произведение двух Б.М.В. есть величина Б.М. 4) частные от деления двух Б.М.В. может и не быть Б.М.В.

Переменная величина называется бесконечно большой если в процессе своего изменения она по абсолютной величине становится и остается больше любого как угодно большего положительного числа М. α > ∞ - бесконечно большая величина

Свойства Б.Б.В. 1) величина обратная Б.М. есть величина Б.Б. а величина обратная Б.Б. является Б.М. 1/∞ =0 , 1/0=∞

2. понятие о функции и её пределе. Основные теоремы о пределах.

?

Постоянное число (а) называется пределом переменной величины Un если в процессе её изменения разность между величиной Un и этим числом по абсолютной величине есть величина Б.М. Un- а =α , α→0

Переменная величина y называется функцией переменной величины x если каждому значению х взятому из области её определения соответствует определенное значение y y=f(x)

Область определения функции называется совокупность значений независимой переменной при котором эта функция определена

Число А называется пределом функции у = f (x) в точке x= a если для любого сколь угодно малого положительного числа ξ >0 существует положительное число σ такое что при всех x отличных от a и удовлетворяющих неравенству | x – a |< σ |f(x) – A| < ξ

? f (x) = A

Основные теоремы о пределах: 1) предел постоянной величины есть величина постоянная 2) предел от суммы или разности двух функций равен сумме пределов или разности 3) предел от произведения равен произведению предела 4) предел от частного равен частному пределу 5) функция не может иметь более 1 предела. 6) предел элементарной функции при х→а равен частному значению этой функции при х = а если это значение существует

3. Раскрытие неопределенностей.

1) для раскрытия неопределенностей вида [ 0/0] следует разложить числитель и знаменатель на простейшие множители для дальнейшего их сокращения. При наличии иррациональных выражений домножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение ( для получения формулы сокращенного умножения) и опять сокращать на одинаковый множитель. 2) [∞/∞] – делим числитель и знаменатель на переменную в высшей степени для сведения Б.Б.В. к Б.М.В. предел которой равен 0. 3) [∞-∞] ; [0•∞] сводятся путём алгибраических преобразований к неопределенности [0/0] или [∞/∞] 4) при наличии тригонометрических выражений используют первый замечательный предел

?

5)[1? ] раскрывается с помощью 2 замечательного предела

?

4. первый и второй замечательные пределы

1) при наличии тригонометрических выражений используют первый замечательный предел

?

2) [1? ] раскрывается с помощью 2 замечательного предела

?

5. Непрерывность функции. Односторонние пределы. Точка разрыва.

Пусть функция y= f(x) определена в т. xₒ и в некоторой окрестности этой точки функция y= f(x) называется непрерывной в т. xₒ если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции этой точки ? f(x) = f(xₒ) (1)

Условие непрерывности функции (1) означает выполнение 3-х условий: 1)функция f(x) определена в т. xₒ и её окрестности 2)функция f(x) имеет предел при x→xₒ 3) предел функции в т. xₒ равен значению функции в этой точке.

В точке в которой нарушается непрерывность функции называется точкой разрыва функции. Предел функции y = F(x) при условии что аргумент x стремится к своему предельному значению xₒ может принимать только значения меньше хₒ называется левосторонним пределом данной функции в т. хₒ

?

Предел функции y = f (x) при условии что аргумент x стремится к своему значению xₒ может принимать значения больше xₒ называется правосторонним пределом данной функции в т. xₒ

?

Левосторонний и правосторонний пределы- односторонние приделы от сюда условие 2 равно 3 условиям: 1) существует правосторонний предел 2) левосторонний продел 3) эти пределы должны быть равны

Все точки разрыва функции разделены на точки разрыва 1 и 2 рода. Т. разрыва хₒ называется точкой разрыва 1 рода функции y = f(x) если в этой точке существует конечные односторонние пределы при этом А1≠А2. Величина ∆ = |A1-A2|- скачок функции. Т. Разрыва xₒ называется т. Разрыва 2 рода функции y = f (x) если по крайней мере 1 из односторонних пределов не существует или =∞

6. Классификация точек разрыва.

Все точки разрыва функции разделены на точки разрыва 1 и 2 рода. Т. разрыва хₒ называется точкой разрыва 1 рода функции y = f(x) если в этой точке существует конечные односторонние пределы при этом А1≠А2. Величина ∆ = |A1-A2|- скачок функции. Т. Разрыва xₒ называется т. Разрыва 2 рода функции y = f (x) если по крайней мере 1 из односторонних пределов не существует или =∞

7. Определение производной. Её механический и геометрический смыслы.

Производной функцией y = f(x) в точке xₒ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента когда приращение аргумента стремится к 0 y′, f′(x) dy/dx

?

Функция y =f(x) имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцированной. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием

С механической точки зрения производная определяет скорость изменения функции. Геометрический смысл производной – производная в т. Х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке абцисса которой равна х. y =kx + b ?

8. основные свойства производной. Таблица производных.

Свойства производной: 1) производная постоянной равна 0. С′=0 С= const. 2)производная от аргумента по аргументу = 1. X′x=1 Y′y=1 3) производная сумы или разности 2-х производных = сумме или разности этих функций ( U±V)′ = U′ ± V′ 4) производная от произведения = сумме 2-х слагаемых ( U•V)′ = U′•V + U•V′ 5) постоянный множитель можно вынести за множитель

(C •U)′= C′U + C U′ = C U′ 6) производная от частного ( U/V)′ = U′ V –U V′/V² 7) производная сложной функции = произведению производной от функции по промежуточному аргументу на производную от промежуточного аргумента если y= f(U), где U= σ(x) то Y′x = Y′u U′x

9. Производные высших порядков и неявно заданные функции.

Производной n- ого порядка называется производная от производной n^-1 порядка y′′ = ( y′)′

y′′′ = (y′′)′ y⁽ⁿ⁾ = (y^(n-1))′

Неявнозаданные функции F (x,y) = 0 для нахождения производной продефференцируем это уравнение по х рассматривая при этом у как функцию от х и получим затем уравнения разрешить относительно у′ ?

10. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции – главная часть её приращения равная произведению производной функции на приращение аргумент. dy=y′ ∆x , ∆x = x₂- x₁ ∆x=dx dy= y′dx y′= dy/dx

Геометрический смысл дифференциала- дифференциал функции y= f(x) в т. х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке когда х получит приращение ∆х