19.3. Исчисление предикатов

В логике предикатов, в отличие от логики высказываний, нет эффективного способа распознавания общезначимости формул. Поэтому аксиоматический метод становится главным [19, 26].

Алфавит и определение формулы исчисления предикатов совпадают с логикой предикатов, за исключением того, что в качестве логических операций используем только операции , – .

Аксиомы исчисления предикатов: в качестве трех первых берутся, например, аксиомы исчисления высказываний:

А1. А(ВА);

А2. (А(ВС))((АВ)(АС));

Добавляются «собственные» аксиомы:

А4. x_iA(x_i)A(x_j), где формула A(x_i) не содержит переменной x_j.

А5. A(x_i)x_jA(x_j), где формула A(x_i) не содержит переменной x_j.

Как и ранее А1-А5 – тождественно истинные (общезначимые) формулы.

Действительно, А1-А3 тождественно истинны ( метадоказательство мы приводили выше). А4: x_iA(x_i)A(x_j) – замкнутая формула и ее частный случай x_iA(x_i)A(x_i) при подстановке {(x_i,x_j)}, что тождественно истинно.

А5: A(x_i)x_jA(x_j) может быть представлена в виде =, где а – функция Сколема. Частный случай этой формулы тождественно истинен:.

Правила вывода.

1. Правило m.p: . Нами уже использовалось и доказывалось.

2. Правило связывания квантором общности:

,

где формула В не содержит переменной x_i. Воспользуемся «метадоказательством»: соответствующее множество дизъюнктов невыполнимо (а – функция Сколема).

3. Правило связывания квантором существования:

,

где формула В не содержит переменной x_i.

Метадоказательство: множество дизъюнктов также невыполнимо.

4. Правило переименования связанной переменной.

Связанную переменную формулы А можно заменить (в кванторе и во всех вхождениях в области действия квантора) другой переменной, не являющейся свободной в А.

Докажем общезначимость формулы, описывающей правило перестановки разноименных кванторов [24]:

xyP(x,y)yxP(x,y).

1. yP(x,y)P(x,z) – по аксиоме 4.

2. P(x,z)wP(w,z) – по аксиоме 5.

3. (АВ,ВС)(АС) – цепное заключение, которое доказывалось в логике высказываний:

;

4. yP(x,y)wP(w,z), где 3 применено к 1 и к 2.

5. xyP(x,y)wP(w,z) – по правилу вывода 3 из 4 – связывание квантором существования.

6. xyP(x,y)zwP(w,z) – правило вывода 2 из 5 – связывание квантором общности.

7. xyP(x,y)ywP(w,y) – правило вывода 4 из 6: переименование z в y.

8. xyP(x,y)yxP(x,y) – правило вывода 4 из 7: переименование w в x.

Поскольку в качестве исходных формул использованы только аксиомы, то [xyP(x,y)yxP(x,y)].

19.4. Система натурного вывода

Система натурного вывода – это доказательство в смысле Генцена. Название «натурный» или «естественный» говорит о том, что такой тип рассуждений близок к человеческому (естественному) [32]. Правила вывода в этой формальной системе делятся на правила введения и правила исключения логических операций.

Рассмотрим основные правила введения (В):

1. введение конъюнкции: (В) , здесь Н – некоторое множество формул (гипотез); – метасимвол «влечет», «выводится». Читается так: «Если из Н выводится А и из Н выводится В, то из Н выводится конъюнкция А,В»;

2. введение дизъюнкции: (В) ,;

3. введение импликации: (В) ;

4. введение инверсии: (В¯) .

Рассмотрим основные правила исключения (И):

5. исключение конъюнкции: (И) ,;

6. исключение дизъюнкции: (И) ;

7. исключение импликации: (И) ;

8. исключение инверсии: (И¯) .

Кроме того, необходимы еще так называемые базисные правила:

(Б1):; (Б2):.

Первое базисное правило (Б1) означает, что всякий вывод, заключение которого совпадает с одной из гипотез (А) общезначим, то есть так как над чертой нет гипотез (пустое множество гипотез).

Второе базисное правило (Б2) означает, что добавление гипотезы (В) к множеству гипотез не изменяет выводимости.

Рассмотрим пример [32].

Пусть имеется множество формул Н:

{F,F(PQ),PC,QC}=H.

Докажем, что из этого множества выводится формула С.

1) [Н,F(PQ)][F(PQ)]]: правило Б1 – гипотеза [F(PQ)] выводима;

2) Н[F(PQ)]: объединение Н и F(PQ)] это Н;

3) Н,F(PQ)]: в соответствии с 2) и правилом исключения импликации (И): консеквент импликации выводи́м;

4) Н(PQ): объединение Н и F – это Н: т.к. из F выводится (PQ), то и из H тоже выводится (PQ);

5) (Н,PC)(РC): правило Б1 – гипотеза (РC): выводима;

6) Н(РC): объединение Н и (РC) это Н;

7) Н,РC: в соответствии с 6) и правилом исключения импликации (И): консеквент импликации выводи́м;

8) (Н,QC)(QC): правило Б1 – гипотеза (QC): выводима;

9) Н(QC): объединение Н и (QC) это Н;

10) Н,QC: в соответствии с 9) и правилом исключения импликации (И): консеквент импликации выводи́м;

11) НC: в соответствии с 4), 7), 10) и правилом исключения дизъюнкции (И). Таким образом, мы доказали правило «разбора случаев».