17.3. Тождественные преобразования формул

Формулы логики предикатов часто представляют в стандартной форме, например, в клаузальной. Формула в клаузальной форме (в виде конъюнкции – КНФ-дизъюнктов) явно использует лишь операции дизъюнкции, конъюнкции и инверсии, а каждый дизъюнкт – лишь операцию дизъюнкции и инверсии, причем инверсия применяется не более чем к одной предикатной букве (литере, литералу). Поэтому для представления произвольной формулы в форме дизъюнкта необходимо исключить все остальные логические операторы (включая кванторы) и уменьшить область действия знака отрицания до одной предикатной буквы [29].

Исключение знаков импликации.

Знаки импликации исключают, используя равносильность .

Например:

Уменьшение области действия знаков инверсии.

Это делается с помощью законов Де Моргана и правил инверсии выражений с кванторами.

Например:

Стандартизация переменных.

В области действия квантора связанную с ними переменную можно заменить произвольной переменной, не совпадающей с какой-либо другой переменной, входящей в область действия этих кванторов.

Например:

Однако, формулы ине равносильны.

Переименование связанных переменных формулы, при котором каждый квантор имеет собственную переменную, отличную от других, называется стандартизацией переменных.

Исключение кванторов существования.

В формуле , которую можно интерпретировать, например, как «для всехx существует такой y, что для x не больше y», квантор y находится внутри области действия квантора x. Поэтому y, который «существует», может зависеть от x. Эту зависимость в явной форме можно определить функцией g(x), отображающей каждое значение x в y. Такая функция называется функцией Сколема. Используя её, можно исключить квантор существования. Для обозначения функции Сколема не должны использоваться функциональные буквы, которые уже имеются в формуле. Если квантор существования находится в области действия двух и более кванторов общности, то функция Сколема будет зависеть соответственно от двух аргументов и более.

Если исключаемый квантор существования не принадлежит ни к одному квантору общности, то функция Сколема не содержит аргумента, т.е. является константой. Так, формула при исключении квантора существования преобразуется в формулу F(a), где а – константа, при которой известно, что формула F(a) «существует».

Операция исключения квантора существования называется ещё сколемизацией.

Исключение кванторов общности.

После исключения кванторов общности и стандартизации переменных формула содержит только кванторы общности, каждый из которых имеет свою переменную. Поэтому кванторы общности можно перенести в начало формулы (получаем предварённую формулу) и считать областью действия каждого квантора часть формулы, расположенную за ними. Например:

В связи с тем, что в импликации множество состоит из замкнутых формул, т.е. из формул, не содержащих свободных переменных, и формулаF замкнута, все переменные в формуле из будут относиться к кванторам общности. А так как порядок расположения кванторов общности не имеет значения, то эти кванторы можно явно не исключать, условившись, что все переменные в формуле относятся к кванторам общности.

Таким образом, кванторы исключают, получив предваренную форму из одних кванторов общности.

Представление формулы в КНФ.

Получение множества Ф₁(объединение формул ) эквивалентно КНФ соответствующей формулы. Так как какая-либо интерпретация удовлетворяет формуле видав том и только в том случае, если она удовлетворяет формулам и К₁,К₂, …, К_n одновременно, то исходную формулу Ф₁можно заменить множеством конъюнктивных членов (дизъюнктов).