![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 5
- •2. Задача математической статистики
- •3. Генеральная и выборочная совокупности
- •4. Статистическое распределение выборки,
- •5. Графическое изображение статистического
- •6. Числовые характеристики
- •Тема19. Элементы теории оценок и проверки гипотез
- •1. Оценки параметров распределения
- •2. Методы нахождения точечных оценок параметров распределения
- •2.1. Метод моментов (мм)
- •2.2. Метод максимального правдоподобия (ммп)
- •2.3. Сглаживания экспериментальных зависимостей
- •3. Понятие интервального оценивания параметров
- •4. Доверительные интервалы для параметров
- •4. 2. Доверительный интервал для математического ожидания
- •4.3. Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения
- •5. Другие характеристики вариационного ряда
3. Понятие интервального оценивания параметров
Точечные оценки неизвестного параметра
хороши
в качестве первоначальных результатов
обработки наблюдений. Их недостаток в
том, что заранее (априори) неизвестно с
какой точностью они характеризуют
оцениваемый параметр. Поскольку точечные
оценки параметров распределения являются
случайными величинами и могут отличаться
от оцениваемых параметров, то возникает
необходимость в оценке точности и
надёжности найденного. То есть требуется
знать, к каким ошибкам может привести
замена неизвестного параметра его
точечной оценкой, и с какой уверенностью
можно ожидать, что допущенные ошибки
не выйдут за известные пределы.
С этой целью вводятся «интервальные
оценки», накрывающий неизвестный
параметр, то есть по данным выборки
указывается интервал, который с заданной
и достаточно близкой к единице вероятностьюобеспечивает верхнюю и нижнюю границу
оценок. Обычно, величину
называют доверительной вероятностью
или надёжностью оценки и определяют
формулой:
(43)
.
Число
характеризует точность оценки: чем
меньше разность
,
тем точнее оценка.
Для выборок небольшого объёма вопрос о точности оценок очень важен.
Оценка неизвестного параметра называется
интервальной, если она определяется
двумя числами – началом и концом
интервала. Задачу в общем случае можно
сформулировать так: по данным выборки
построить числовой интервал,
относительно которого с заранее выбранной
вероятностью
можно
сказать, что внутри этого интервала
находится точное значение оцениваемого
параметра.
Величина
выбирается заранее, её выбор зависит
от конкретно решаемой задачи. Например,
степень доверия авиапассажира к
надёжности самолёта, естественно,
должно быть выше степени доверия
покупателя к надёжности бытовых приборов:
телевизора, лампочки, …
Надёжность
принято
выбирать равной: 0,9; 0,95; 0,99 или 0,999. Тогда
практически достоверно нахождение
параметра
в доверительном интервале
.
4. Доверительные интервалы для параметров
нормального распределения
В этом разделе построим доверительные
интервалы для параметров нормального
распределения, т.е. когда выборка
производится из генеральной совокупности,
имеющей нормальное распределение с
параметрами
и
4.1. Доверительный интервал для математического ожидания
при известной дисперсии
Пусть с.в.и
известна,
и задана доверительная вероятность
(надёжность)
.
Предположим, что
означают выборку, полученную в результате
проведения
независимых наблюдений за с.в.
.
Чтобы подчеркнуть случайный характер
выборки
,
перепишем их в виде
,
т.е. под
будем
понимать значение с.в.
в
м
опыте. Случайные величины
-
независимы, закон распределения любой
из них совпадает с законом распределения
с.в.
,
(т.е. с
).
А это значит, что
Выборочное среднее
также будет распределено по нормальному
закону. Параметры распределения
таковы:
. Действительно,
Отсюда,
.
Следовательно, пользуясь формулой (см. теорему 9.9) формула (43)).
,
можно записать для некоторого
,
где
следовательно,
(44)
,
поэтому
или
(45)
.
Замечание. Еслипотребуется
оценить математическое ожидание с
заранее заданной точностью
и надёжностью
,
то минимальный объём выборки, который
обеспечивает эту точность, находят по
формуле
(непосредственное
следствие формулы (44)).
В соответствии с определением
доверительного интервала получаем, что
доверительный интервал для
есть
интервал
(46)
где
определяется из равенства (45), т.е. из
функционального уравнения
(47)
.
При заданном
по таблице функции Лапласа находим
аргумент
.
Заметим, что из равенства (44) непосредственно
следует: с увеличением объёма выборки
число
убывает
и, значит, точность оценки увеличивается.
Увеличение надёжности
влечёт за собой уменьшение точности
оценки.
Пример 14. Произведено 5 независимых
наблюдений над с.в..
Результаты
наблюдений таковы:
Найти оценку для
а
также построить для него 95% -й доверительный интервал.
Решение. Находим сначала величинут.е.
Учитывая,
что
и
По таблице значений функции Лапласа
находим, что
Тогда по формуле (44)
.
Следовательно, доверительный интервал
для
согласно
равенство (45) будет следующее:
.