9. Элементы спектральной теории стационарных

случайных процессов (функций)

В этом пункте кратко ознакомимся с новой характеристикой случайной функции, с понятием «спектральная плотность».

Из курса математического анализа известно, что неслучайную функцию , удовлетворяющую определённым условиям (условиям Дирихле) можно разложить в некотором промежуткев ряд Фурье. Важность теории рядов Фурье обусловлена той большой ролью, которую играют её приложения не только в математике, но и в механике, физике и ряде других научных дисциплин. Во многом это предопределено тем, что тригонометрические ряды Фурье соединяют в себе особенности, как тригонометрических рядов, так и общих рядов Фурье. С теорией рядов Фурье и интегралах Фурье можно ознакомиться, например, в учебнике [Архипов, … ].

Аналогичную теорию можно применять и в теории случайных функций (процессов), т.е. любой с.п. можно представить (разложить) в виде суммы так называемых «элементарных случайных процессов». А именно, в функциональный ряд вида

(20)

где случайные величины,неслучайные функции времени. Метод разложения СП в ряды вида (20) упрощает различные преобразования СП (линейных и нелинейных), в частности используя её можно найти характеристики «выходного процесса» стационарной линейной динамической системы по известным характеристикам «входного процесса». Вообще говоря, стационарную случайную функцию можно представить в виде гармонических колебаний со случайными амплитудами и случайными фазами. Рассмотрим два класса случайных функций:

А. Пусть случайная функция вида (локальный случай)

(21) ,

гдедействительное число,инекоррелированные случайные величины с математическим ожиданием, равными нулю и одинаковыми дисперсиями, или коротко:

Напомним, что в наших условиях с.п. , т.е.центрированный случайный процесс. Следовательно, такой случайный процесс является центрированным.

Покажем, что этот случайный процесс является стационарным.

Действительно, вычислим :

Вычислим корреляционную функцию. С учётом равенства:

,

и определения корреляционной функции имеем

Следовательно, мы доказали, чтоявляется стандартным случайным процессом.

Б. Рассмотрим теперь СП , являющейся суммой бесконечного числа слагаемых вида (21) (общий случай)

(22),

где выполнены следующие условия:

(23)

при любых ,постоянные числа.

Покажем, что случайный процесс , определённый равенством(22) с условиями (23) также является стационарным.

Действительно, с учетом свойства м.о. имеем

.

Следовательно, .

Поскольку слагаемые в равенстве (22) некоррелированные, то с учётом формулы для корреляционной функции с.п. (21) и свойства 6, пункта 16.5, т.е. с учётом равенства

получаем

(24) ,

Итак, с.п. (23) является стационарным случайным процессом.

Отметим, что равенство (24) можно рассматривать как разложение корреляционной функции на промежуткеи ряд Фурье по косинусам:,

где

,

(25)

Можно доказать, что для любой корреляционной функции стационарного случайного процесса.

Разложение (22) обычно называется каноническимилиспектральным разложением стационарного случайного процесса. А разложение (24) для которого выполнены равенства (25) называетсяспектральным разложением корреляционной функции СП с равноотстоящими частотами.

Отметим, что спектральное разложение (22) с.с.п. можно представить в виде суммы гармонических колебаний со случайными амплитудами и фазамии частотами:

(26) ,

где

Кратко наметим схему получения представление (26) на основании равенства (22), где и выполнены условий:

Очевидно, . Обозначими выполнив стандартные выкладки, получимгде

Отсюда вытекает, что каждую случайную функцию в правой части (26) можно истолковать как гармоническое колебание со случайной амплитудой

, частотойислучайной фазой. Отметим, что согласно условиям (23) величиныибудут центрированные случайные величины, т.е.