9.1. О дисперсии стационарного случайного процесса.

Имеет место, следующее утверждение.

Теорема 16.4. Дисперсия стационарного случайного процесса, представленного в виде равенства

,

где выполнены следующие условия:

при любых ,постоянные числа,равно сумме дисперсий всех гармоник его спектрального разложения:

(27) .

Доказательство. В соответствии свойства 1, пункта 16.6 получим

Заметим, что если сумма существует, то ряд сходится.

Множество значений дисперсииназываютспектром стационарного случайного процесса (ССП), а ординаты этих величин – спектральными линиями, с соответствующими частотами

Спектр можно представить графически

Рисунок 63.(Письменный)

Сумма всех ординат спектра равна дисперсии случайного процесса Спектр случайного процесса определённый равенством (22) называетсялинейчатым дискретнымс бесконечным числом равноотстоящих спектральных линий. Расстояние между соседними линиями по частоте равно

9.2. Дискретный спектр, с произвольным конечным числом частоты.

Пусть стационарная случайная функцияпредставлена в виде конечного спектрального разложения

(28) ,

с условиями при этом как уже было показано .

Найдём дисперсию одной гармоники , учитывая, что случайные величины

и не коррелированны и дисперсии этих величин с одинаковыми индексами равны между собой,.

.

Следовательно, с учётом свойства 2, дисперсии случайного процесса, т.е. , и приняв во внимание, что слагаемыене коррелированны и потому дисперсия их суммы равна сумме дисперсий слагаемых, получим

(29) .

Итак, дисперсия с.с.п. представляемая в виде суммы конечного числа гармоник с произвольными частотами, равна сумме дисперсий составляющих её гармоник.

Пример 9. Построить дискретный спектр стационарного случайного процесса

если случайные величины не коррелированны, их математические ожидания равны нулю и заданы их дисперсии равенствами:

(30)

а на вертикальной оси – соответствующие им дисперсии (30).

Решение. В прямоугольной системе координат отложим по горизонтальной оси частоты,

Задание. 1. Найти

2. Постройте график изображения спектра.

10. Спектральная плотность случайного

процесса, теорема Винера – Хинчина

Выше, когда частоты гармоник спектрального разложения стационарной случайной функции были дискретными и равноотстоящими, и был получен дискретный линейчатый спектр, причём соседние частоты отличались друг от друга на величину

Спектральное разложение с.п. на промежутке даёт приближённое его описание. Более полное представление о случайных процессах при спектральном разложении может быть получено при. Также отметим, что при неограниченном увеличении промежутка разложения () число слагаемых в равенстве (29) неограниченно увеличивается, а коэффициентыв разложении корреляционной функции (см.(24)) неограниченно уменьшается, но сумма остаётся постоянной. Интервал между частотами будет стремиться к нулю, т.е.Ясно, что при этом частота изменяется непрерывно (поэтому обозначим её черезбез индекса), соседние ординаты спектра сближаются и в пределе вместо дискретного спектра получимнепрерывный (сплошной) спектр, т.е. каждой частоте соответствует ордината, которую обозначим через

Среднюю плотность дисперсии обозначают черезт.е.

(31)

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса

называется предел отношения дисперсии приходящийся на интервал частот

к длине этого интервала, когда длина стремится к нулю

(32)

т.е. спектральная плотность с.с.п. есть предел средней плотности дисперсии (31), когда

Далее получим формулы, связывающую спектральную плотность и корреляционную функциюпри условии. С этой целью, найдём дисперсиюиз равенства (31) затем, поставив её в равенства (24) и (25) (см. пункт 16.9) получаем:

(33)

т.е.

(34) .

Переходя к пределу при , из равенств (33) и (34) получаем известнее утверждение полученное, независимо друг от друга Винером и Хинчиным.

Теорема 16.5 (Теорема Винера - Хинчина). Корреляционная функция и спектральная плотность стационарного случайного процесса между собой связаны взаимно обратными косинус - преобразованиями Фурье:

(35)

Дискретный линейчатый спектр разложения переходит, при , в непрерывный спектр, в котором каждой частотесоответствует неотрицательная ордината.

Кривая изображает плотность распределения дисперсий по частотам непрерывного спектра относительно прямоугольной системы координат (см.рис. 64).

Рисунок 64 из Письменного

Свойства спектральной плотности стационарного случайного процесса.

Спектральная плотность с.с.п. обладает следующими свойствами:

1. Спектральная плотность является неотрицательной функцией, т.е. .

Это свойство выводится из определения (31) с учётом неравенства .

2. Интеграл от спектральной плотности на полупрямой равен дисперсию с.с.п., т.е.

.

Равенство вытекает из второго равенства (35) с учётом первого свойства дисперсии (см.16.6);

Следует отметить, что часто для упрощения математических выкладок удобно использовать спектральное разложение с.с.п. в комплексной форме, при этом можно считать, что частоты изменяются в интервале, (частотыфизического смысла не имеют).

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса в комплексной форме называется функция

(36) .

Комплексная форма Винера -Хинчина имеют вид

(37)

Доказательство этих равенств, проводится на основании спектрального разложения (24) с последующим использованием формулы Эйлера

и предельного перехода при

Отметим, что спектральная функция является чётной функцией на всём интервале , т.е.

На участке полупрямой имеем равенство(см. рис. 65).

Рисунок 65 из Письменного.

Таким образом, значения функции в два раза меньше значения функциипри тех значениях аргумента

Пример 10. Пусть корреляционная функция стационарного случайного процесса задана равенством. Найти спектральную плотность ССП.

Решение. На основании первой формулы (37) получим

Таким образом, или.

Пример 11. Найдём спектральную плотность ССП , если её корреляционная функция задана в виде:

Решение. Применяем первую формулу из равенства (35), и учитывая, что в интервале ,, а вне этого интервала равно нулю, получим

Применяя метод, интегрирование по частям после стандартных подсчётов получим

.

Пример12.Найти корреляционную функцию СП., если её спектральная плотность задана в виде

График корреляционной функции изображён на рис.66.

Рис.66. Письменный

На практике часто с понятием спектральной плотностью также используют понятие нормированную спектральную плотность.

Нормированной спектральной плотностью с.с.п.называют отношение спектральной плотности к дисперсии СП, т.е.

(38)

Пример 13. Задана спектральная плотность стационарной случайной функции, гдеположительная постоянная. Найти нормированную спектральную плотность.

Решение. По второй формуле равенства (35) при имеем (с учётом)

.

Найдём искомую нормированную плотность, для этого достаточно воспользоваться формулой (38), получим