7. Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов

При проектировании различных систем (систем автоматического управления или регулирования некоторыми процессами и т.д.) и других практических задач возникает следующая задача:

- на вход некоторой системы подаётся «входной сигнал» - с.п. с известными характеристиками; система преобразует этот сигнал, в результате чего на выходе системыполучается случайный процесс, называемый «выходным сигналом»; требуется определить характеристики с.п. на выходе системы

(см. рис. 62).

Преобразование случайного процесса в случайную величину,осуществляемое системой (прибором), обычно записывается в видегде- называют преобразованием или оператором системы. Операторможет иметь любой вид: оператор сложения или умножения, оператором дифференцирования или интегрирования и т.д. Так. например, если, и операторесть оператор интегрирования

, то.

Все виды подобных преобразований (операторов) можно разделить на две различные группы: линейные и нелинейные. В свою очередь линейные преобразования линейные однородныеи линейные неоднородные. Преобразование (оператор) называется линейным однородным, если оно (он) обладает двумя свойствами:

1. Оператор суммы функций (с.п.) равен сумме операторов от каждой функции, входящих в сумму, т.е.

2. Постоянную величину можно выносить за знак оператора:

Другими словами оператор удовлетворяет свойствам аддитивности и однородности.

Преобразование (оператор) называется линейным неоднородным, если оно состоит из суммы однородного линейного преобразованияс прибавлением заданной неслучайной функции, то есть

Примерами однородных линейных операторов являются оператор дифференцирования , оператор интегрирования, оператор умножения на заданную функцию. Все преобразования, не являющиеся линейными, называютсянелинейными. Примерами неоднородных линейных операторов являются:

Примерами нелинейных операторов являются: , и т.д.

8. Дифференцирование и интегрирование

случайных процессов (функций)

Пусть заданы характеристики и, некоторого случайного процессаи он подвергается действиюдифференцирования, т.е. следует определить случайный процесс «выходного сигнала», где оператор дифференцирования. Имеем

.

Требуется определить характеристики ис.п.«выходного сигнала».

Теорема 16.2. Математическое ожидание производной от с.п.равно производной от её математического ожидания

(16)

Доказательство. Предполагая, что с.п. является непрерывным, производная от него существует, а математическое ожидание предела равенства

,

также существует. Приравниваем м.о. обеих частей равенства, а затем изменим, порядок нахождения м.о. и предела (законность изменения порядка этих операций примем без доказательства). С учётом сказанного приходим к равенству

т.е. . Теорема доказана.

Замечание 1. Последняя формула показывает, что для среднеквадратических дифференцируемых случайных функций операции нахождения м.о. и дифференцирования можно менять местами, т.е.

).

Пример 6. Пусть математическое ожидание .

Решение. Искомое математическое ожидание получим из формулы (16)

Замечание 2. Если первая производная дифференцируема, то производную от первой производной называют второй производной и обозначают, через Аналогично определяют производные более высоких порядков.

Задание. Найти в нашем примере и т.д..

Можно показать, что корреляционная функция производной от случайной функции равна второй смешанной производной от её корреляционной функции

.

Пример 7. Пусть задана корреляционная функция с.п. . Найти корреляционную функцию его производной.

Решение. Найдём частные производные от корреляционной функции по аргументами.

Отсюда следует, что искомая корреляционная функция равна

.

Перейдём к рассмотрению понятие интеграла от случайной функции.

Пусть заданы характеристики и, некоторого случайного процесса, а линейное преобразование случайного процесса состоит в том, что он подвергается действиюинтегрирования в отрезке , т.е. следует определить характеристики и, с.п.где «выходного сигнала», где оператор интегрирования. Положим

(17) .

Требуется найти характеристики с.п. Обычно (см. например, [Гмурманн]) определение интеграла от случайной функции даётся с помощью предельного соотношения, а именно:

Интегралом от случайной функции по отрезке [0,t] называют предельное значение среднеквадратического интегральной суммы при стремлении к нулю частичного интерваламаксимальной длины, т.е.

Ниже приведём два утверждения, относящихся к характеристикам с.п. без доказательства.

Теорема 16.3. Математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от её математического ожидания, то есть справедливо равенство

(18) ,

и корреляционная функция интеграла от случайной функции равна двойному интегралу от её корреляционной функции, если(17), то

(19) .

Эти равенства доказываются стандартным путём на основании свойств м.о. и функции корреляции с.п. (см. [Гмурманн] гл.23).

Рассмотрим примеры на применении равенств (18) и (19).

Пример 8. Пусть м.о. и корреляционная функция, найти м.о. и корреляционную функцию с.п.определённую равенством (17).

Решение. Искомое м.о. Далее

Упражнение. Известны характеристики двух некоррелированных с.п. и, если

.

Найти математическое ожидание и корреляционную функцию с.п. .