5. Корреляционная функция случайного процесса

При исследовании вопросов зависимости или независимостидвух или более сечений случайных процессов знание лишь математического ожидания и дисперсии с.п. не достаточно.

Для определения связи между различными случайными процессами используется понятие корреляционной функции – аналог понятия ковариации случайных величин (см. Т.8)

Корреляционной (ковариационной, автоковариационной, автокорреляционной)функцией случайного процесса называется неслучайная функция двух аргументов, которая при каждой паре значенийравна корреляционному моменту соответствующих сеченийи:

или (с учётом обозначения центрированной случайной функции ) имеем

.

Приведём основные свойства корреляционной функции случайного процесса.

1. Корреляционная функция при одинаковых значениях аргументов равна дисперсии с.п.

.

Действительно,

.

Доказанное свойство позволяет вычислить м.о. и корреляционную функцию являющимися основными характеристиками случайного процесса, необходимость в подсчёте дисперсии отпадает.

2. Корреляционная функция не меняется относительно замены аргументов, т.е. является симметрической функцией относительно своих аргументов: .

Это свойство непосредственно выводится из определения корреляционной функции.

3. Если к случайному процессу прибавить неслучайную функцию, то корреляционная функция не меняется, т.е. если , то. Другими словами

является периодической функцией относительно любой неслучайной функции.

Действительно, из цепочки рассуждений

,

следует, что . Отсюда получим требуемое свойство 3.

4. Модуль корреляционной функции не превосходит произведения с.к.о., т.е.

.

Доказательство свойства 4. проводится аналогично как в пункте 12.2. (теорема 12..2), с учётом первого свойства корреляционной функции с.п. .

5. При умножении с.п.на неслучайный множительеё корреляционная функция умножится на произведение, т.е., если, то

.

5.1. Нормированная корреляционная функция

Наряду с корреляционной функцией с.п. рассматривается также нормированная корреляционная функция (или автокорреляционнаяфункция)определяемая равенством

.

Следствие. На основании свойства 1 имеет место равенство

.

По своему смыслу аналогичен коэффициенту корреляции для с.в., но не является постоянной величиной, а зависит от аргументови.

Перечислим свойства нормированной корреляционной функции:

1.

2.

3. .

Пример 4. Пусть с.п. определяется формулой, т.е.с.в.,

распределена по нормальному закону с

Найти корреляционную и нормированную функции случайного процесса

Решение. По определению имеем

,

т.е. Отсюда с учётом определения нормированной корреляционной функции и результатов решения предыдущих примеров получим=1, т.е..

5.2. Взаимная корреляционная функция случайного процесса

Для определения степени зависимости сеченийдвух случайных процессов используют корреляционную функцию связи или взаимную корреляционную функцию.

Взаимной корреляционной функцией двух случайных процессов иназывается неслучайная функциядвух независимых аргументови, которая при каждой паре значенийиравна корреляционному моменту двух сеченийи

.

Два с.п. иназываютсянекоррелированными, если их взаимная корреляционная функция тождественно равна нулю, т.е. если для любыхиимеет местоЕсли же для любыхиокажется, то случайные процессыиназываютсякоррелированными(илисвязанными).

Рассмотрим свойства взаимной корреляционной функции, которые непосредственно выводятся из её определения и свойств корреляционного момента (см. 12.2):

1.При одновременной перестановке индексов и аргументов взаимная корреляционная функция не меняется, то есть

2. Модуль взаимной корреляционной функции двух случайных процессов не превышает произведения их средних квадратичных отклонений, то есть

3. Корреляционная функция не изменится, если к случайным процессамиприбавить неслучайные функцииисоответственно, то есть, где соответственнои

4. Неслучайные множители можно вынести за знак корреляции, то есть, еслии, то

5. Если , то.

6. Если случайные процессы инекоррелированные, то корреляционная функция их суммы равна сумме их корреляционных функций, то есть.

Для оценки степени зависимости сечений двух с.п. используют также нормированную взаимную корреляционную функцию , определяемую равенством:

.

Функция обладает теми же свойствами, что и функция , но свойство 2

заменяется на следующее двойное неравенство , т.е. модуль нормированной взаимной корреляционной функции не превышает единицы.

Пример 5. Найти взаимную корреляционную функцию двух с.п.и, гдеслучайная величина, при этом

Решение. Так как,.

То

т.е.