3. Классификация случайных процессов

Здесь, коротко рассмотрим основные вопросы систематизации (классификации) случайных процессов.

Случайный процесс, протекающий (проходящей) в любой физической системе , представляет собой случайные переходы системы из одного состояния в другое. В зависимости от множества этих состоянийот множествазначений аргументавсе случайные процессы делят на классы (группы):

1. Дискретный процесс (дискретное состояние) с дискретным временем.

2.Дискретный процесс с непрерывным временем.

3. Непрерывный процесс (непрерывное состояние) с дискретным временем.

4. Непрерывный процесс с непрерывным временем.

В 1-м 3-м случаях множестводискретно, т.е. аргументпринимает дискретные значенияобычнов 1-м случае множество значений случайной функцииопределяются равенствами:, является дискретное множество(множествоконечно или счетное).

В третьем случае множество несчётно, т.е. сечение случайного процесса в любой момент временипредставляет собой непрерывную случайную величину.

Во 2-м и 4-м случаях множество непрерывно, во втором случае множество состояний системыконечно или счетное, а в четвёртом случае множествонесчётное.

Приведём некоторые примеры случайных процессов 1-4 классов соответственно:

1. Хоккеист может забить или не забить один или несколько шайб в ворота соперника во время матчей, проводимых в определенные моменты (согласно расписанию игр) времени

Случайный процессесть число забитых шайб до момента.

2. Случайный процесс - количество просмотренных фильмов в кинотеатре «Звезда»

от начала работы кинотеатра до момента времени .

3. В определённые моменты времени измеряется температурабольного в некотором лечебном центре.- является случайный процесс непрерывного типа с дискретным временем.

4. Показатель уровня влажности воздуха в течение сутки в городе А.

Можно рассматривать и другие более сложные классы случайных процессов. Для каждого класса случайных процессов разрабатываются соответствующие методы их изучения.

Можно найти ряд разнообразные и интересные примеры случайных потоков в учебниках [1], [В. Феллер, ч 1,2 ] и в монографии [C. Карлин. Основы теории случайных процессов. Издательство «Мир» Москва -1971] . Здесь мы на этом ограничимся.

Для случайных процессов также вводятся простеющие функциональные характеристики, зависящие от параметра , аналогичные основным числовым характеристикам случайных величин.

Знание этих характеристик, достаточно для решения многих задач (напомним, что полная характеристика случайного процесса даётся её многомерным (конечномерным) законом распределения.

В отличие числовых характеристик случайных величин в общем случае функциональные характеристики представляют собой определённые функции.

4. Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса

Математическим ожиданием случайного процесса называется неслучайная функция

определённая при любом фиксированном значении аргументаравна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса:

(12) .

Для краткого обозначения математического ожидания с.п. применяют также обозначение .

Функция характеризует поведение случайного процесса в среднем. Геометрический смысл математического ожиданияистолковывается как «средняя кривая», около которой расположены кривые-реализации (см. рис. 60).

(см. рис. 60 Письм.).

На основании свойства математического ожидания случайной величины и учитывая, что случайный процесс, анеслучайная функция, получаемсвойства математического ожиданияслучайного процесса:

1. Математическое ожидание неслучайной функции равно самой функции:.

2. Неслучайный множитель (неслучайную функцию) можно выносить за знак математического ожидания случайного процесса, т.е..

3. Математическое ожидание суммы (разности) двух случайных процессов равно сумме

(разности) математических ожиданий слагаемых, т.е.

Отметим, что если зафиксируем аргумент (параметр) , то переходим от случайного процесса к случайной величине (т.е. переходим к сечению случайного процесса), можно найти м.о. этого процесса при этом фиксированном

Поскольку, если сечение с.п. при заданноместь непрерывная с.в. с плотностьюто его математическое ожидание можно вычислить по формуле

(13) .

Пример 2. Пусть с.п. определяется формулой, т.е.с.в.,

распределена по нормальному закону с

Найти математического ожидания случайного процесса

Решение. По свойству 2. имеем

,

так как и следовательно,.

Упражнение. Вычислить математическое ожидание воспользуюсь, равенствами

,,

а затем на основании формулы (13) вычислить интеграл и убедиться, что результат будет тот же самый.

Указание.Воспользоваться равенством

.

Дисперсия случайного процесса.

Дисперсией случайного процесса называется неслучайная функция

(14) .

Дисперсия с.п. рассматривается, также характеризуют разброс (рассеяние) возможных значений с.п. относительно его математического ожидания.

Наряду с дисперсией с.п. рассматривается также среднее квадратическое отклонение

(коротко с.к.о.), которое определяется равенством

(15)

Размерность функции равна размерности с.п..

Значения реализаций с.п. при каждом отклоняется от математического ожиданияна величину порядка(см. рис 60).

Отметим простейшие свойства дисперсии случайных процессов.

1. Дисперсия неслучайной функции равна нулю, т.е.

2. Дисперсия случайного процесса неотрицательна т.е.

3. Дисперсия произведения неслучайной функции на случайную функциюравна произведению квадрата неслучайной функции на дисперсию случайной функции, т.е.

.

4. Дисперсия суммы с.п. и неслучайной функцииравна дисперсии с.п., т.е.

Пример 3. Пусть с.п. определяется формулой, т.е.с.в.

распределена по нормальному закону с

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение с.п. .

Решение. Вычислим дисперсию на основании формулы из свойства 3. Имеем

но , следовательно, по определению дисперсии с.в.

Следовательно, т.е.и