2. Процесс Пуассона

Распределение Пуассона как один из предельных законов подробно рассматривали в пунктах 6.2, 9.2. В этом разделе ещё раз возвращаемся к этому закону уже с точки зрения теории случайных процессов. В пункте 6.2. было введено некоторые предварительные понятия относительно простейшего потока событий. Кратко напомним о них ещё раз.

Потоком событий называют последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени.

Рассмотрим процесс без последействия, имеющий важное значение в современной физики, теории связи, теории надёжности и в теории массового обслуживания. Предполагают, что этот процесс был впервые подвергнуть исследованию в начале XX физиками А. Эйнштейном и М. Смолуховским в связи с задачами броуновского движения.

Предположим, что в случайные моменты времени происходит некоторое событие. Нас интересует число появления этого события в промежуток времени от доОтносительно процесса появления события предполагается выполнение трёх условий, о которых ниже напомним ещё раз.

Среди основных свойств, которыми могут обладать потоки, выделяются три свойства: стационарности, ординарности и отсутствия последействия.

1. Стационарность означает, что для любой группы из конечного числа между собой непересекающихся промежутков времени вероятность появления определённого числа событий на протяжении каждого из них зависит только от этих чисел и от длительности промежутков времени, и не зависит от сдвига всех отрезков времени на одну и ту же величину. В частности, вероятность появления событий в течении промежутка времени отдоне зависит оти является функцией только величини.

Поэтому среднее число событий, появляющихся в единице времени, так называемая интенсивность потока, есть постоянная

2. Отсутствие последействия означает, что вероятность появлениясобытий в течение промежутка временина любом участке времени длиныне зависит от того, сколько событий появилось ранее. Это предположение означает, что условная вероятность появления событий за промежуток временипри любом предположении о наступлении событий до моментасовпадает с безусловной вероятностью. В частности, отсутствие последействия означает взаимную независимость того или иного количества событий в непересекающиеся промежутки времени.

3. Ординарность выражает требование практической невозможности появления двух или нескольких событий за малый промежуток времени , то есть события появляются не группами, а поодиночке. Иначе говоря, вероятность появления более одного события на малом участке временипренебрежительно мала по сравнению с вероятностью появления только одного события, т.е. имеет место.

Итак:

- если поток обладает свойством стационарности, то вероятность появления событий за промежуток времени длительностьюесть функция, зависящая только от и ;

- если поток обладает свойством отсутствия последействия, то имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени;

- если поток обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Поток событий, обладающий указанными свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности называется простейшим (пуассоновским) потоком.

Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Процесс Пуассона удовлетворяет трём условиям: стационарности, без последействия и ординарности . Докажем утверждение.

Теорема 16.1. Для вероятностейнаступления события за промежуток времени произойдутсобытий,справедлива формула

(5)

Доказательство.Сначала покажем, что величиназа промежуток времени длительности, если произойдётсобытий, эти вероятности не зависят от того, что где расположен этот отрезок времени. С этой целью в соответствии наших предположений обнаружим, что при малыхимеет местопостоянное.

Действительно, рассмотрим промежуток времени длительности равное единице и обозначим через вероятность того, что за этот срок больше не наступит ни одно событие. Разобьем наш промежуток наравных непересекающихся частей. В силу первого и второго предположений имеет место равенствооткуда следует, чтоОтсюда при любом натуральном числеполучим равенствоПусть теперьнекоторое неотрицательное число. При любомможно найти такоечто будет иметь место неравенства:. Поскольку вероятностьесть убывающая функция времени, то

Таким образом, удовлетворяет неравенствам

Пустьистремятся к бесконечности так, чтобы

Так как величина , как вероятностное число удовлетворяет, неравенствамто могут представиться три следующих случая:Первые два случая малоинтересны. В первом из них при любом. Следовательно, вероятность за промежуток времени любой длительности произойти хотя бы одному событию равна единице.

Другими словами, с вероятностью равной единице за промежуток времени любой длительности происходит бесконечно много событий. Во втором случае , следовательно, в этом случае ни одного события не происходят. Представляет лишь интерес третий случай, в котором положим, гденекоторое положительное число.

Итак, из определений стационарности и отсутствия последействия мы вывели, что при любом

(6) .

В соответствии с определением вероятности понятно, что

.

Из формулы (6) вытекает, что при малых значениях

Следовательно, в силу условия ординарности, получим

(7)

Теперь можем приступить к выводу формул для вероятностей С этой целью определим вероятность того, что за времясобытие наступит ровнораз. Это может осуществитьсяразличными способами, а именно:

1) за промежуток времени длительности произойдутсобытий, а за времяни одного события;

2) за промежуток времени длительности произойдутсобытие, а за времяодно;

3) за промежуток времени длительности произойдутсобытие, а за времядва и так далее; за (k+1) промежуток времени длительностине наступит ни одного события, а за времяпроизойдутсобытий.

По формуле полной вероятности (с учётом условий стационарности и отсутствия последействия) имеем равенство

Обозначим

Отсюда с учётом условия ординарности имеем цепочку неравенства:

.

Таким образом,

Далее, согласно формуле (7)

Поэтому

Отсюда

Поскольку при предельное значение правой части равенства существует, то существует и предел левой части. В результате для определенияполучаем уравнение

(8) .

Выберем начальные условия такие:

(9)

Для решения дифференциального уравнения (9) введём функцию

(10)

Поставляя в (9), получаем

(11) ,

где начальные условия остаются теми же:Последовательно решая уравнения (11), с учётом начальных условий последовательно получаем

--------------------------------------------------

--------------------------------------------------

Следовательно, на основании (10),

получим доказательство теоремы 16.1.

Таким образом, мы доказали, что при каждом случайная величинапочиняется распределению Пуассона с параметром. В частности, среднее количество наступлений события за времяравно

Следствие. В условиях теоремы 16.1 при любом номередля вероятностейс начальными условиями, имеют место равенства

1.(разностно-дифференциальное уравнение)

2.(свойство последовательности «наследия»).

3. На основании равенства, имеет место равенство

По поводу последовательностей со свойством «наследия» см. [1-4] из работы Исмоилов-Сарбасова, Астана, Октябрь, 2012.

Заметим, что теория развитая, в настоящем пункте, может быть применена не только в предположении, что параметр играет роль временного параметра, но и других объектов. Чтобы убедится в этом, рассмотрим следующий пример.

Пример 1.В пространстве разбросаны точки, для которых выполнены следующие требования:

1.Пустьобозначает вероятность того, чтоточек окажется в заданной области, зависит лишь от объёмаэтой области, но никак не зависит ни от её формы, ни от её положения в пространстве;

2.Количество точек, попавших в неперекрывающиеся области, являются независимыми случайными величинами:

3.Потребуем, чтобы.

Эти требования удовлетворяют условиям: стационарности, отсутствия последействия и ординарности. Поэтому существует положительная постоянная такая, что для вероятностибудет иметь место равенство

.

Если в жидкости взвешены (выпали в осадок) мельчайшие частицы какого-либо вещества, то под воздействием ударов окружающих молекул эти частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (броуновское движение). В результате в каждый момент времени мы имеем случайное распределение частиц в пространстве, о чем говорилась в рассмотренном примере.

Согласно теории стохастических процессов следует считать, что такое распределение частиц, попадающих в определённую область пространства, будет подчинено закону Пуассона. Ниже рассмотрим таблицу, заимствованное из книги [1], где расчёты приводятся из статьи физика Смолуховского, и результаты вычислений проведены по закону Пуассона.

Таблица 14.стр. 300 (Гнеденко Б.В.)

Постоянное число, которым определяется закон Пуассона, выбрано равным среднему арифметическому из наблюдавшегося количества частиц, т.е.