33_1_8 / 33-1-08 ZB_ZAD_OSNOVNOY TEXT_ponomarenko_07.11.08
.pdf2.323. Дві мильні бульбашки радіусами 2 см і 3 см зливаються в одну. Визначити енергію, яка виділяється під час такого процесу, якщо коефіцієнт поверхневого натягу дорівнює 0,043 Н/м.
2.324. Дві мильні бульбашки радіусами 10 см і 5 см видули на різних кінцях однієї і тієї ж трубки. Якщо бульбашки надати самим собі, то, при зміні радіусу більшої бульбашки на 0,1 см, радіус меншої зміниться на 0,4 см. Наскільки зміниться при цьому потенціальна енергія поверхневого шару системи двох бульбашок?
2.325. Яку роботу проти сил поверхневого натягу потрібно виконати для того, щоб вдвічі збільшити об’єм мильної бульбашки радіусом 1 см? Коефіцієнт поверхневого натягу розчину вважати рівним
0,043 Н/м.
2.326. Яку роботу проти сил поверхневого натягу потрібно виконати для того, щоб видути мильну бульбашку діаметром 4 см? У скільки разів збільшиться ця робота при збільшенні діаметра мильної бульбашки вдвічі? Коефіцієнт поверхневого натягу мильного розчину вважати рівним 0,043 Н/м.
2.327. Повітряна бульбашка діаметром 2,2 мкм знаходиться у воді біля самої її поверхні. Визначити густину повітря всередині бульбашки, якщо повітря над поверхнею води знаходиться за нормальних умов.
2.328. Дві краплі ртуті, радіусом 1,2 мм кожна, злились в одну велику краплю. Визначити енергію, що виділиться під час такого злиття. Процес вважати ізотермічним.
2.329. Визначити додатковий тиск всередині мильної бульбашки діаметром 10 см. Яку роботу треба виконати для того, щоб видути таку бульбашку?
2.330. Визначити, на який глибині під водою знаходиться повітряна бульбашка, якщо відомо, що густина повітря всередині бульбашки становить 2 кг/м3. Діаметр бульбашки 0,015 мм, температура 20 ºС, атмосферний тиск 101,3 кПа.
2.331. Тиск повітря всередині мильної бульбашки на 133,3 Па більший за атмосферний. Визначити діаметр бульбашки. Коефіцієнт поверхневого натягу мильного розчину вважати рівним 0,043 Н/м.
2.332. У широку посудину з водою опущений капіляр. Його верхній кінець на 2 см вищий за рівень води в посудині. Внутрішній радіус капіляра 0,5 мм. Визначити радіус кривизни меніска в капілярі. Змочування вважати повним.
131
2.333. У відкритому капілярі знаходиться крапля води. При вертикальному положенні капіляра крапля утворює водяний стовпчик довжиною 2 см; 4 см. Внутрішній діаметр капіляра 1 мм. Визначити радіус кривизни верхнього і нижнього менісків у кожному з цих випадків. Змочування вважати повним.
2.334. На дні посудини зі ртуттю є отвір. Яким має бути найбільший діаметр отвору за умови, що ртуть не буде виливатися із посудини при висоті стовпчика ртуті 3 см?
2.335. Яку енергію треба витратити для того, щоб видути мильну бульбашку діаметром 12 см? Визначити додатковий тиск всередині такої бульбашки.
2.336. Трубка має діаметр 0,2 см. На нижньому кінці трубки зависла крапля води, яка має форму кульки. Визначити діаметр цієї краплі.
2.337. Яку силу треба прикласти до горизонтального алюмінієвого кільця висотою 10 мм, із внутрішнім діаметром 50 мм і зовнішнім діаметром 52 мм, для того, щоб відірвати його від поверхні води? Яку частину від знайденої сили становлять сили поверхневого натягу?
2.338. Спирт по краплям витікає з посудини через вертикальну трубку із внутрішнім діаметром 2 мм. Вважаючи, що краплі відриваються через 1 с одна за одною, визначити, через який час витече 10 г спирту. Вважати, що в момент відриву, діаметр шийки краплі дорівнює внутрішньому діаметру трубки.
2.339. Під час плавлення нижнього кінця вертикально підвішеного свинцевого дроту діаметром 1 мм утворилось 20 крапель свинцю. Наскільки вкоротився дріт? Коефіцієнт поверхневого натягу рідкого свинцю становить 0,47 Н/м. Діаметр шийки краплі в момент відриву вважати рівним діаметру дроту.
2.340. Із вертикальної трубки з внутрішнім радіусом 1 мм витікають краплі води. Визначити радіус краплі в момент відриву, вважаючи її сферичною. Діаметр шийки краплі в момент відриву дорівнює внутрішньому діаметру трубки.
132
2.341. У скільки разів густина повітря в бульбашці, що знаходиться на глибині 5 м під водою, більша за густину повітря при атмосферному тиску? Температуру повітря вважати однаковою. Радіус бульбашки 5·10-4 мм.
2.342. У посудину, заповнену ртуттю, опущений відкритий капіляр з внутрішнім діаметром 3 мм. Різниця рівнів ртуті в посудині та капілярі становить 3,7 мм. Визначити радіус кривизни ртутного меніска в капілярі.
2.343. У посудину з водою опущений відкритий капіляр із внутрішнім діаметром 1 мм. Різниця рівнів води в посудині та капілярі становить 2,8 см. Який радіус кривизни меніска в капілярі? Визначити різницю рівнів у посудині та капілярі за умови повного змочування.
2.344. На яку висоту піднімається бензол у капілярі з внутрішнім діаметром 1 мм? Змочування вважати повним.
2.345. Яким має бути внутрішній діаметр капіляра для того, щоб, за умови повного змочування, вода піднялася в ньому на 2 см?
2.346. Визначити різницю рівнів ртуті в двох сполучених капілярах з діаметрами 1 мм і 2 мм. Незмочування вважати повним.
2.347. Яким має бути найбільший діаметр пор у гніті гасниці для того, щоб гас піднімався на висоту 10 см від дна гасниці до горілки? Пори вважати циліндричними трубками, а змочування повним.
2.348. Капіляр із внутрішнім радіусом 2 мм опущений в рідину. Визначити коефіцієнт поверхневого натягу рідини, якщо відомо, що маса рідини, що піднялася в капілярі, становить 0,09 г.
2.349. Капілярна трубка з внутрішнім радіусом 0,16 мм опущена вертикально в посудину з водою. Яким має бути тиск повітря над рідиною в капілярі для того, щоб рівень води в капілярі та в широкій посудині був однаковим? Зовнішній тиск становить 101,3 кПа. Змочування вважати повним.
2.350. Капілярна трубка опущена вертикально в посудину з водою. Верхній кінець трубки запаяний. Для того, щоб рівень води в капілярі і в широкій посудині був однаковим, трубку довелось занурити у воду на 1,5 % від її довжини. Визначити внутрішній діаметр трубки. Зовнішній тиск становить 100 кПа. Змочування вважати повним.
133
2.351. У дні скляної посудини площею 30 см2 є круглий отвір діаметром 0,5 мм. У посудину налили ртуть. Яка кількість ртуті залишиться в посудині?
2.352. Між двома вертикальними плоскопаралельними скляними пластинками, що знаходяться на відстані 0,25 мм одна від одної, налита рідина. Визначити густину рідини, якщо відомо, що висота її підйому між пластинами становить 3,1 см, а коефіцієнт поверхневого натягу рідини дорівнює 0,03 Н/м. Змочування вважати повним.
2.353. Ареометр плаває в рідині, густина якої 800 кг/м2. Рідина повністю змочує стінки ареометра. Діаметр його вертикальної циліндричної трубки 9 мм. Наскільки зміниться глибина занурення ареометра, якщо внаслідок замаслення ареометр став повністю не змочуваним такою рідиною?
2.354. Визначити різницю висот рівнів ртуті в трубках, занурених у посудину зі ртуттю, якщо діаметри трубок 0,1 мм і 1 мм.
2.355. У капілярі з радіусом 0,1 мм спирт піднявся на висоту 56 мм. Визначити коефіцієнт поверхневого натягу спирту. Змочування вважати повним.
2.356. Під час вимірювання коефіцієнта поверхневого натягу спирту використовувалась капілярна трубка з діаметром каналу 0,15 мм. При температурі 293 К спирт піднявся в ній на висоту 7,6 см. Визначити коефіцієнт поверхневого натягу спиту за результатами досліду.
2.357. Крапля води витікає з вертикальної скляної трубки діаметром 1 мм. Температура води 20 ºС. Визначити вагу краплі.
2.358. Гас витікає з отвору трубки діаметром 1,8 мм. Скільки крапель утвориться з 1см3 гасу при температурі 20 ºС?
2.359. Визначити коефіцієнт поверхневого натягу олії, якщо під час пропускання через піпетку 4 см3 олії отримано 304 краплі. Діаметр шийки піпетки 1,2 мм, густина олії 0,91·103 кг/м3.
134
Глава 3. Модуль 3 «ЕЛЕКТРИКА ТА МАГНЕТИЗМ»
3.1. Короткий теоретичний довідник до модуля 3
Взаємодія точкових зарядів визначається законом Кулона
F = |
q1q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, де – |
q1 і q2 – величина зарядів, r – |
відстань між зарядами, |
|||||||
4πεε0r2 |
||||||||||
ε – |
діелектрична |
проникність середовища, |
ε0 електрична |
стала. |
||||||
|
|
|
|
R |
|
W |
|
|
||
Напруженість і потенціал електричного поля: E = |
F |
, |
φ = |
, |
де W– |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
q |
|
q |
|
||
потенціальна енергія точкового позитивного заряду q, який перебуває у
R |
N R |
даній точці поля. Принцип суперпозиції електричних полів: E = |
∑ Ei , |
|
i=1 |
N |
|
φ = ∑φi , де Еi, φi – напруженість і потенціал у даній точці |
поля, |
i=1 |
|
створені i – м зарядом. Для точкового заряду напруженість та потенціал
електричного поля: Е = |
q |
, φ = |
q |
, |
де r – |
відстань від |
4πεε0r 2 |
4πεε0 r |
заряду q до точки, в якій визначається напруженість і потенціал. Робота сил електричного поля по переміщенню заряду q визначається через різницю потенціалів: A=q(φ1- φ2). Зв’язок потенціалу з напруженістю
електричного поля: E = −gradφ.
Теорема Гаусса ∫ |
R R |
N |
(E × dS ) = ∑qi / εε0 , де замкнена поверхня S |
||
( S ) |
|
i=1 |
охоплює електричні заряди qi. За т. Гаусса напруженість електричного поля, створеного нескінченною прямою рівномірно зарядженою ниткою або нескінченно довгим циліндром: E = τ/2πεε0 r , де τ = q / l – лінійна густина заряду, r – відстань від нитки або осі циліндра до точки, у якій визначається напруженість поля. Напруженість електричного поля, яке створюється нескінченною, рівномірно зарядженою площиною: E = σ/2εε0 , де σ = q / S – поверхнева густина зарядів.
135
Електричний момент диполя p =| q | l , де q – заряд , l – плече диполя. Обертальний момент, що діє на диполь в електричному полі
R |
R |
× E) . |
M = [ p ´ E], а додаткова потенціальна енергія диполя W = -( p |
||
Електроємність провідника С=q/∆φ, або конденсатора C=q/U, де |
||
∆φ – зміна потенціалу поверхні провідника, |
U – різниця потенціалів між |
|
пластинами конденсатора. Електроємність |
окремої провідної |
сфери |
радіусом R: . Електроємність плоского конденсатора:
C = |
εε |
0 S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, де S – площа однієї пластини конденсатора, d – |
відстань між |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
N |
1 |
|
|
пластинами. |
Електроємність батареї |
конденсаторів: |
|
= ∑ |
|
– для |
|||||||||
|
|
C i |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
i=1 |
|
|||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
послідовного |
з’єднання, C = ∑Ci |
- |
для паралельного |
з’єднання, |
|||||||||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де N |
– кількість конденсаторів |
у |
батареї. |
Енергія |
зарядженого |
||||||||||
конденсатора: W = qU / 2 = CU 2 / 2 = q2 / 2C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
I |
|
R |
|
|
|
|
|
|
Сила струму I = dq / dt , густина струму j |
= |
|
n , де S – площина |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
S
поперечного перерізу провідника, Закон Ома визначає силу струму в
однорідній ділянці кола I = U , де U – різниця потенціалів (напруга) на
R
кінцях ділянки, |
R |
– |
електричний |
опір ділянки. Закон Ома для |
|||||||||
замкненого кола I = |
ε |
|
, |
де Е – |
ЕРС джерела струму. R – |
зовнішній |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
R + r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
опір кола, r – внутрішній опір джерела струму. |
Правила Кірхгофа для |
||||||||||||
розрахунку |
складних |
кіл: |
∑ Ii = 0 |
- |
перше |
правило для вузлів |
|||||||
|
|
|
n |
|
|
= ∑εi |
|
|
|
|
|
|
|
електричної |
схеми, |
∑ Ii Ri |
- |
друге |
правило |
для |
замкнених |
||||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
контурів. Опір |
провідника |
R = ρl |
, |
де |
ρ - |
питомий |
опір |
матеріалу |
|||||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
провідника, |
l – |
довжина провідника, |
S – |
площа поперечного перерізу. |
|||||||||
136
Опір системи провідників: R = ∑ Ri – для послідовного з’єднання,
R1 = ∑ R1 i - для паралельного з’єднання, де Ri – опір і-го провідника.
При протіканні струму через електроліт на електродах виділяється маса речовини, що визначається законом Фарадея для електролізу:
m = µ It , де µ - молярна маса речовини, n - валентність, I - сила nF
струму, t - час протікання струму, F - стала Фарадея. Густина струму, що
протікає через іонізований газ: |
j = qn(u+ + u− )E , |
де q - заряд іона, |
n - концентрація іонів, u+, u- – |
рухливості іонів |
відповідного знака, |
E - напруженість електричного поля в газі. |
|
|
Робота струму A=IUt=I2Rt=U2t/R. Звідки потужність струму |
||
P=IU=I2R=U2/R. Закон Джоуля-Ленца: Q=I2Rt, |
де Q – кількість |
|
теплової енергії, що виділяється ділянкою електричного кола. Закон Ома
у диференціальній формі: j=γE, де γ |
– |
питома провідність, Е – |
||||||||
напруженість електричного поля, j – |
густина струму. |
|
||||||||
За законом Біо-Савара-Лапласа вектор індукції магнітного поля |
||||||||||
dB , створеного елементом провідника |
довжиною dl |
зі струмом I |
||||||||
|
µµ0 |
|
|
I sinα |
|
|
|
|||
чисельно дорівнює |
dB = |
|
|
|
|
|
dl , |
де µ – магнітна проникність |
||
4π |
|
r 2 |
|
|||||||
середовища, µ0 – |
магнітна |
стала, r |
– |
модуль |
радіус-вектора, |
|||||
спрямованого від елемента провідника до точки, в якій визначається магнітна індукція, α - кут між радіус-вектором та напрямком струму в
елементі провідника. Зв'язок вектора |
індукції |
з напруженістю |
|||
H магнітного поля: B = µµ0 H . Магнітна індукція у центрі кругового |
|||||
струму: B = µµ0 I / 2R , де R – радіус витка. Магнітна індукція, створена |
|||||
|
μμ0 |
|
I |
|
|
відрізком провідника зі струмом: B = |
4π |
|
|
(cosα1 |
− cosα2 ) , де α1 , |
|
|
||||
|
|
r |
|
||
α2 – кути, під якими спостерігаються кінці відрізку з точки визначення індукції.
137
|
|
∫ |
R |
R |
N |
|
За законом повного струму |
(H × dL) = ∑ Ii , де Ii – сили струмів |
|||||
|
|
( L) |
|
|
i=1 |
|
у провідниках, охоплених контуром L. Магнітна індукція поля в |
||||||
середині соленоїда та тороїда: |
B = µµ0nI , |
де n – |
кількість витків |
|||
соленоїда на одиницю довжини. |
|
|
|
|
|
|
Закон Ампера визначає силу, що діє на провідник зі струмом у |
||||||
|
R |
|
або |
її величина |
F=IBlsinα, де |
|
магнітному полі: F = I l × B |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
l – довжина провідника, α - |
кут між напрямком струму у провіднику та |
|||||
вектором магнітної індукції. Сила взаємодії паралельних провідників зі
струмом: F = µµ |
|
I1I2l |
, де d – відстань між провідниками. |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 2πd |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Магнітний момент плоского контура зі струмом: pm = nIS , де |
|||||||||||||
n – |
одиничний вектор нормалі до площин контура, |
I - сила струму, |
||||||||||||
S - площа контура. Обертальний момент, що діє на контур зі струмом у |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
UUR |
UUR |
UR |
|
|
|
|
однорідному магнітному |
полі: |
M |
= p |
m |
× B |
або |
за |
величиною |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M = pm B sinα , де α - кут між векторами pm |
та B . |
|
|
|
||||||||||
|
Сила |
Лоренца, |
що |
діє на |
рухомий |
заряд |
у |
магнітному полі |
||||||
R |
R |
R |
За |
величиною |
F = qυ B sinα , |
де |
|
швидкість |
||||||
F = q υ × B . |
υ – |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зарядженої частинки, α - кут між векторами υ та B . |
|
|
|
|||||||||||
|
Магнітний потік, що перетинає контур зі струмом: Ф=BScos α, де |
|||||||||||||
S – |
площа контура, |
α - |
кут між нормаллю до площини контура та |
|||||||||||
вектором магнітної індукції. Робота по переміщенню замкнутого
контура у магнітному полі: А=I∆Ф. |
||||
|
|
Явище електромагнітної індукції описується законом Фарадея: |
||
ε |
|
= − |
dФ |
. Різниця потенціалів на ділянці провідника, що рухається у |
i |
|
|||
|
|
dt |
||
магнітному полі: U=Bυ lsinα, де υ – швидкість руху провідника, α – кут між векторами υ та B . Явище самоіндукції описується законом Генрі:
|
dI |
, де L – |
індуктивність контура. Індуктивність |
соленоїда |
εsi = −L dt |
|
|
||
L = µµ0n2V , де n – |
кількість витків на одиниці довжини, |
V – об’єм |
||
соленоїда. |
|
|
||
|
|
|
138 |
|
Миттєве |
значення сили |
струму |
у колі, яке |
має опір |
R та |
|||||||||||||
індуктивність |
L: I = |
ε |
(1 − e |
− |
Rt |
|
|
для |
замикання кола, де ε – |
ЕРС |
||||||||
L ) |
- |
|||||||||||||||||
R |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = I |
|
|
− |
Rt |
|
|
||
джерела струму, t – |
час |
після |
замикання кола; |
0 |
e |
L |
- для |
|||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
розмикання кола, де I0 – |
струм у колі для t = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Енергія магнітного поля контура зі струмом: W = |
LI 2 |
. Об’ємна |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
густина енергії магнітного поля: wV = BH , де B - магнітна індукція,
2
Н - напруженість магнітного поля. Зокрема, для соленоїда енергія
магнітного поля: W = |
µµ |
0 |
H 2 Sl |
де S – |
площа поперечного перерізу, |
|
|
|
, |
||||
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
l – довжина соленоїда.
3.2.Задачі до модуля 3
3.1.Два точкових заряди 30 нКл та -10 нКл перебувають у просторі на відстані 10 см один від одного. Визначити напруженість поля, що створюється цими зарядами у точці, віддаленій на 9 см від позитивного та на 7 см від негативного зарядів. Розв’язок супроводити рисунком.
3.2.Відстань між двома нескінченно довгими паралельними металевими нитками, зарядженими однойменно з лінійною густиною 6·10–5 Кл/м, складає 5 см. Знайти напруженість поля у точці, віддаленої на 5 см від кожної нитки. Розв’язок супроводити рисунком.
3.3.Дві паралельно розташовані площини заряджені: одна з поверхневою густиною 0,4·10–6 Кл/м2, друга – 0,6 ·10–6 Кл/м2. Визначити напруженість поля між площинами. Розв’язок супроводити рисунком.
3.4.Дві порожні металеві концентричні кулі заряджені. Діаметр більшої кулі 0,08 м, на ній перебуває заряд – 40 нКл, діаметр меншої – 0,04 м, заряд на ній 20 нКл. Заряди рівномірно розподілені по поверхням куль. Визначити напруженість електричного поля на відстанях 0,03 м та 0,05 м від центра. Розв’язок супроводити рисунком.
139
3.5.Відстань між двома паралельно розташованими нескінченно довгими металевими нитками складає 10 см. Одна нитка заряджена з лінійною густиною 6·10-5 Кл/м, друга −3 ·10-5 Кл/м. Знайти напруженість поля у точці, віддаленій на відстань 10 см від кожної нитки. Розв’язок супроводити рисунком.
3.6.Дві паралельні однойменно заряджені площини з поверхневою густиною заряду 0,5·10-6 та 1,5·10-6 Кл/м2. Визначити напруженість поля між площинами, поза площинами. Розв’язок супроводити рисунком.
3.7.Два точкових однойменних заряди по 2,7·10-8 Кл перебувають у повітрі на відстані 5 см один від одного. Визначити напруженість поля, що створюється цими зарядами у точці, віддаленій на відстань 3 см від одного заряду, та 4 см від іншого. Розв’язок супроводити рисунком.
3.8.Вузький пучок електронів зі швидкістю 20 000 км/с проходить у вакуумі посередині між обкладинками плоского конденсатора. Яку найменшу різницю потенціалів треба прикласти до пластин, щоб електрони не вийшли з конденсатора? Відстань між пластинами 1 см, їхня довжина 3 см.
3.9.Обкладинки плоского конденсатора площею 100 см2, відстань між якими 3 мм, взаємодіють з силою 100 мН. Знайти заряд на обкладинках конденсатора, якщо різниця потенціалів між ними 500 В.
3.10.Порошинка, заряд якої 6,4·10-18 Кл і маса 10-14 кг, утримується у рівновазі у плоскому конденсаторі з відстанню між обкладинками 4 мм. Визначити різницю потенціалів між обкладинками.
3.11.Два точкових однойменних заряди 20 і 50 нКл перебувають у повітрі на відстані 1 м. Визначити роботу, яку треба виконати, щоб наблизити їх до відстані 0,5 м.
3.12.Порошинка, заряд якої складають 50 електронів, утримується в рівновазі у плоскому конденсаторі, відстань по вертикалі між обкладинками якого 5 мм, а різниця потенціалів між ними 75 В. Визначити масу порошинки.
3.13.Визначити силу взаємодії між обкладинками плоского конденсатора, якщо він перебуває в спирті. Площа обкладинок 200 см2.
Відстань між ними 5 мм. Обкладинки заряджені до різниці потенціалів
200 В.
140