Konspekt_SM_3_ukr

де α = Dd – відношення внутрішнього діаметра d труби до її зовні-

шнього діаметра D.

Полярним моментом опору називають відношення полярного моменту інерції до відстані від полюса до найбільш віддаленої точки перерізу:

Для круга:

Для кільцевого перерізу:

Як бачимо, моменти опору не підкоряються принципу суперпозиції.

121

11.4 Поняття про радіус і еліпс інерції

Момент інерції фігури щодо якої-небудь осі можна подати у вигляді добутку площі фігури на квадрат деякої величини, званої радіусом інерції

Ix = ò y2dF = F ×ix2 ,

F

де ix – радіус інерції відносно осі x. Звідси

Аналогічно

Головним центральним осям інерції відповідають головні радіуси інерції

Наприклад, для прямокутника, зображеного на рис.10.5, головні радіуси інерції дорівнюють:

Головний радіус інерції для круга (див. рис.10.8) дорівнює

Побудуємо на головних центральних осях інерції фігури еліпс з півосями, які дорівнюють головним радіусам інерції, причому уздовж осі u

відкладемо відрізки iv, а уздовж осі v – відрізки iu (рис.11.3).

122

Рисунок 11.3

Такий еліпс, званий еліпсом інерції, володіє наступною властивістю: радіус інерції щодо будь-якої центральної осі визначається як перпендикуляр ОА, проведений з центра еліпса на дотичну, паралельну даній осі.

12КРУЧЕННЯ

12.1Поняття про кручення. Побудова епюри крутних моментів

Під крученням розуміється такий вид вантаження, при якому в поперечних перерізах стрижня виникають тільки крутні моменти. Інші силові фактори (згинальні моменти, подовжні і поперечні сили) дорівнюють нулю (рис.12.1).

Стрижень, що працює на кручення, називається валом.

Для крутного моменту незалежно від форми перерізу прийнято наступне правило знаків: якщо спостерігач дивиться на поперечний переріз з боку зовнішньої нормалі і бачить момент Мкр, направлений за ходом годин-

никової стрілки, то момент вважається додатним. При протилежному напрямку моменту приписується знак «мінус». На рис.12.1,б в перерізі А показаний крутний момент додатним.

123

M1=50 кНм M2=350 M3=300 M4=400 M5=200 кНм

600

Рисунок 12.2

У перерізі 2-2 крутний момент Мкр2 буде дорівнювати сумі зовнішніх моментів з урахуванням їх знаків:

Мкр2 = М1 - М2 = Мкр1 - М2 = - 300 кН·м.

Далі, міркуючи аналогічно, одержимо:

Мкр3 = М1 - М2 - М3 = Мкр2 - М3 = - 600 кНм; Мкр4 = Мкр3 + М4 = - 200 кНм;

Мкр5 = Мкр4 + М5 = 0.

На підставі одержаних величин крутних моментів побудуємо їх епюру, відкладаючи в певному масштабі ординати від базової лінії.

Візьмемо додатні значення Мкр відкладати вгору, хоча можна прийняти й інше припущення.

Розподіл крутних моментів за довжиною вала показаний на рис.12.2, звідки видно, що найбільший крутний момент (зовнішній), не завжди є

125

найбільшим крутним моментом на валі. При розрахунку ж валів на кручення у формулах використовуються значення крутних моментів, які необхідно брати з епюр.

Іноді потрібно розрахувати вал при відомій потужності N, яку вони передають, і кількості оборотів вала n . Як відомо з курсу теоретичної механіки, момент здійснює роботу на куті повороту. Позначивши кутову швидкість вала ω, знайдемо, що за час t вал обернеться на кут ϕ (у радіанах)

ϕ = ω t = π30n t ,

а момент Mкр виконає роботу

А = М кр ϕ = М кр π30n t .

Тоді потужність (робота за одиницю часу)

N = A = Мкр π n .

t 30

Звідси витікає, що

де N – потужність, яку передає вал, кВт; n – частота обертання, об/хв;

Мкр – крутний момент, кН·м.

У старій технічній літературі використовувалася позасистемна одиниця потужності – кінська сила (к. с.). Якщо потужність, яка передається валом вимірюється в к. с., то

Мкр = 7,16 Nn .

126

12.2 Напруження і деформації при крученні круглого вала

При розрахунку вала на кручення вирішують дві основні задачі: визначають напруження, що виникає в перерізі, і знаходять кутові переміщення залежно від зовнішніх моментів. Рішення цих задач істотно залежить від форми перерізу і являє велику складність для широкого класу тонкостінних стрижнів.

При розрахунку завдання про кручення вала використовують гіпо-

тезу плоских перерізів, в основі якої покладено припущення, що при деформації кручення круглі поперечні перерізи залишаються плоскими і повертаються одне щодо іншого як жорстке ціле.

Досліди показують, що при скручуванні вала круглого перерізу моментом М (рис.12.3) відбувається наступне: поздовжні прямі лінії перетворюються на гвинтові; радіуси, нанесені на торцевому перерізі, після деформації не скривлюються; відстані між ними практично не міняються, тобто перерізи 1-1 і 2-2 (див. рис.12.3, а), повертаючись один щодо одного на кут закручування φ, зберігають між собою відстань dz.

Щоб визначити напруження в поперечних перерізах вала, розгляне-

мо, перш за все, статичну сторону завдання.

127

Оскільки при крученні в перерізі діє єдиний силовий фактор – крутний момент Мкр, який викликає тільки дотичні напруження, то рівняння рівноваги складемо як суму моментів відносно осі вала:

де τ – дотичні напруження, що діють на елементарну площадку dF, яка розташована на довільній відстані від центра перерізу (рис.12.3,б).

Характер розподілу напружень за перерізом з'ясуємо, розглянув-

ши геометричну картину деформації вала при крученні.

Для цього двома поперечними перерізами виділимо з бруса елемент довжиною dz, з нього двома циліндровими поверхнями з радіусами ρ і ρ+dp виділимо елементарне кільце (рис.12.4).

Правий торцевий переріз повертається при крученні відносно лівого на кут dϕ . Лінія твірної АВ повертається при цьому на кут γ і займає положення АВ1. Відрізок ВВ1 рівний ρdϕ або γdz .

Отже

128

чування і є кутом взаємного повороту двох перерізів, віднесеним до відстані між ними:

Тепер розглянемо фізичну сторону задачі, що встановлює зв'язок між напруженнями і деформацією. Оскільки при крученні кожен елемент вала випробовує деформацію зсуву, то, підставляючи в закон Гука при зсуві (9.7) значення кута зсуву (12.5), одержуємо

З формули (12.6) видно, що дотичні напруження τ прямо пропорційні відстані ρ від центра перерізу і максимального значення досягатимуть на поверхні при ρ = r:

τmax =τr =GΘ.

Підставляючи рівняння (12.6) у рівняння (12.2), матимемо:

Mкр = GΘ ò ρ2dF = Gθ Iρ ..

F

Звідси одержимо формулу для відносного кута закручування круглого вала

129

Добуток G Iρ називають жорсткістю стрижня при крученні.

З рівняння (12.7) легко визначити dϕ :

Таким чином, дотичні напруження в поперечному перерізі розподілені уздовж радіусу за лінійним законом і мають найбільше значення в точках найбільш віддалених від осей стрижня (рис. 12.5)

Максимальні дотичні напруження одержимо з виразу (12.10), якщо туди підставимо ρmax:

130