сопр метода

момент інерції перерізу балки визначаємо з умови:

За отриманим значенням моменту інерції остаточно обираємо двотавр № 18 ( I y = 1290 cм4 ).

Отже, переріз буде недонапруженим, тому що для такої умови закріплення та завантаження конструкції визначальною виявилась жорсткість.

21

2. СКЛАДНИЙ ОПІР

Загальні зауваження

Якщо навантаження, що діють на стержень, викликають у ньому одночасно кілька видів простих деформацій (розтяг, стиск, зсув, кручення, згин), напружено-деформований стан такого стержня називається складним опором.

Визначення напружень і деформацій при складному опорі ґрунтується на принципі суперпозиції:

–перевіряючи міцність, визначають напруження в перерізі стержня окремо від кожного силового фактора і алгебраїчно складають напруження одного виду (нормальні або дотичні);

–перевіряючи жорсткість, визначають переміщення перерізу в кожній з головних площин стержня і складають їх як геометричну суму векторів.

Задача 1. Косий згин стержня

Загальні зауваження

Косий згин виникає під дією сил чи моментів, силові площини (площини дії навантажень) яких різні, але проходять через вісь стержня (рис. 2.1) і при цьому не виникає кручення. Такий згин ще називають неплоским, оскільки зігнута вісь стержня є неплоскою кривою.

Напружений стан стержня при косому згині визначається як суперпозиція двох плоских. Навантаження, що діють у довільних силових площинах, розкладають на складові в головних площинах ху та xz , де у та z – головні осі інерції перерізу (рис. 2.1).

При косому згині в поперечних перерізах стержня виникає чотири внутрішніх силових фактори: Qy , Qz , M z та M y . При

розрахунку на міцність впливом дотичних напружень нехтують, оскільки найбільш напруженими точками перерізу будуть кутові точки, де дотичні напруження рівні нулю (рис. 2.2).

22

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Нормальні напруження в будь-якій точці перерізу А( yі; zі )

визначаються як сума напружень від двох плоских згинів у головних площинах стержня:

Згинальні моменти вважаються додатними, якщо розтягують волокна з додатного напрямку відповідної осі.

Рівняння нейтральної лінії при косому згині випливає з умови рівності нулю нормальних напружень:

Це рівняння прямої, що проходить через центр ваги перерізу, кут α відраховується від головної осі у в додатному напрямку проти годинникової стрілки.

Переміщення визначаються також за принципом суперпозиції як геометрична сума векторів переміщень по кожній з головних осей перерізу:

f = u 2y + uz2 .

Постановка задачі

Для заданої розрахункової схеми стержня при заданому співвідношенні сторін визначити розміри прямокутного поперечного перерізу. Побудувати епюру нормальних напружень у небезпечному перерізі, перевірити жорсткість балки.

Вихідні дані

За особистим шифром із дод. 2 вибрати схему та лінійні розміри стержня, величини навантажень, прикладених у різних площинах, співвідношення довжин сторін для перерізу. Матеріал балки – дуб,

24

допустиме напруження σadm = 10 МПа, модуль пружності матеріалу

План розв’язання задачі:

1)визначити проекції навантаження на головні площини балки та побудувати епюри згинальних моментів у головних площинах;

2)визначити небезпечний переріз балки за найневигіднішою комбінацією згинальних моментів та підібрати розміри поперечного перерізу балки;

3)визначити положення нейтральної лінії в небезпечному перерізі та побудувати епюру нормальних напружень;

4)визначити вертикальний, горизонтальний та повний прогин балки прийнятого перерізу;

5)виконати перевірку жорсткості балки.

Приклад 2.1. Для балки прямокутного поперечного перерізу, розрахункова схема якої показана на рис. 2.4.а, визначити розміри прямокутного поперечного перерізу із співвідношенням сторін

h b =

1,4 , побудувати епюру нормальних напружень у b h

небезпечному перерізі, перевірити жорсткість.

1. Викреслюємо в масштабі розрахункову схему балки (рис. 2.4.а). Балка завантажена моментом М у вертикальній площині, горизонтальною силою F та рівномірно розподіленим навантаженням

q, прикладеним під кутом 30O до вертикалі. Розкладаємо навантаження на вертикальну і горизонтальну складові (рис. 2.4.б):

q z = q × cos 30O = 6 × 0,866 = 5,2 кН ,

м

q у= q ×sin 30O = 6 × 0,5 = 3 кН .

м

25

2. Будуємо епюри внутрішніх зусиль у головних площинах

(xOz, xOy) балки (рис. 2.4.в, г).

Рис. 2.4

3. Визначаємо небезпечний переріз балки і підбираємо розміри перерізу:

x = 0 : M y = −4, 4 кНм, M z = 4, 0 кНм; x = 2 : M y = 6 кНм, M z = 0 .

26

Переріз підбираємо в защемленні ( x = 0), де виникає комбінація згинальних моментів у двох площинах.

Оскільки M y = 4,4 кНм > M z = 4,0 кНм, співвідношення

hн =1,4b =1,4 ×14,52 = 20,33 см.

Обираємо розміри перерізу кратно 0,5 см: b = 14,5 см, h = 20,5 см.

Перевіряємо визначені розміри поперечного перерізу для іншого

27

На кресленні перерізу показуємо нейтральну лінію, відкладаючи від осі Oy додатній кут α = 61,2O проти руху годинникової стрілки

=-42, 27 × z + 76,89 × y;

σ1 = -42,27 ×10,25´10−2 + 76,89 × 7,25 ´10−2 = 1,24 МПа;

σ2 = -42,27 ×10,25 ´10−2 + 76,89 ×(- 7,25)´10−2 = -9,91 МПа ;

σ3 = -42,27 ×(-10,25)´10−2 + 76,89 ×(- 7,25)´10−2 = -1,24 МПа ;

σ4 = -42,27 × (-10,25)´10−2 + 76,89 × 7,25 ´10−2 = 9,91 МПа.

Будуємо епюру нормальних напружень (рис. 2.5). Для цього з кожної кутової точки перерізу проводимо прямі паралельно нейтральній лінії. Базу епюри будуємо перпендикулярно нейтральній лінії.

6. Визначаємо переміщення консолі балки.

Оскільки напрям повного прогину невідомий, визначаємо

горизонтальну та вертикальну одиничні сили (рис. 2.4.д) і будуємо відповідні епюри згинальних моментів (рис. 2.4.е).

Визначаємо вертикальну складову прогину:

=25, 6 мм.

Визначаємо повний прогин:

умова не виконується, тому потрібно визначати розміри перерізу з

hн =1,4bн =1,4 × 0,15 = 0,21 м.

Остаточно обираємо: b = 15 см, h = 21 см.

Отже, переріз буде недонапруженим, тому що для такої умови закріплення та завантаження конструкції визначальною виявилась жорсткість.

Задача 2. Позацентровий стиск стержня

Загальні зауваження

Позацентровий стиск (розтяг) виникає під дією сил

M z = F × yF .