6. Обчислення інтегралів функції комплексної змінної за допомогою (за-)лишків(!в методичці не вірно!).

Нехай точка - ізольована особлива точка функції. Тоді лишком функціїв точціназивається число, рівне інтегралу

, де

- коло з центром в точці достатньо малого радіусу, що міститься всередині області аналітичності функціїі не має в собі інших особливих точок. З означення лишка функціївипливає, що, де

- коефіцієнт при мінус першому степені лоралівського розкладення функції в околі. Якщо- усувна особлива точка, то

. Якщо - полюс n-го порядку функції , то

Теорема Коші:

Якщо функція аналітична на границіГ області D і всередині області D, за винятком скінченного числа особливих точок , то

.

1. Обчислити , деГ – мале коло, яке оточує початок координат.

Рішення:

Маємо - полюс 2-го порядку, бо для малихвиконується:

2. Обчислити (Помилка)

Рішення:

Заміна перетвоює в площинівідрізокв коло.

Маємо ,(Опечатка в методичці в степені)

Тоді

.

Особливі точки - прості полюса, причомувсередині контура.

Маємо:

.

Обчислюємо

,,(передивитись формулу)

і

.

3. Обчислити

Рішення:

Якщо функція має нескінченно віддалену точкунулем другого або вищого порядку, то

.

- особливі точки функції , такі що.

Функція має точку, нулем 3-го порядку; її особливі точки, полюси 2-го порядку, знаходимо із рівняння

, при чому . Тоді

.

Маємо .

Варіанти індивідуальних завдань.

1. Записати дане комплексне число в тригонометричній та показниковій формах. Побудувати його на площині і знайти комплексно-спряжене число.

Виконати для числа дії:

а) ,,;

б) ,,,,,;

в) ,,,;

г) ,,;

2. На площині побудувати геометричне місце точок для заданих співвідношень.

3. Обчислити.

4. Розв’язати рівняння.

5. Довести диференційованість функції і знайти її похідну.

6. Знайти коефіцієнт розтягу , і кут поворотув точці(!!!) функції .

7. Знайти аналітичну функцію по заданій дійсній або уявній частині та умові.

8. Обчислити.

9. Розкласти аналітичну функцію в ряд:

а) Тейлора по ступеням , використовуючи розвинення функції в ряд по ступенямі знайти радіус збіжності.(перевірити методичку)

б) Лорана, в околі точки в кільці.

10. Обчислити інтеграли за допомогою лишків.

Варіант 1. Варіант 2.

Варіант 1. Варіант 2.

Варіант 1. Варіант 2.

Варіант 1. Варіант 2.

Варіант 1. Варіант 2.

Варіант 1. Варіант 2.

Варіант 1. Варіант 2.

Варіант 1. Варіант 2.

Варіант 1. Варіант 2.

Варіант 1. Варіант 2.

Варіант 1. Варіант 2.

Варіант 1. Варіант 2.

Варіант 1. Варіант 2.

Варіант 1. Варіант 2.

Варіант 1. Варіант 2.

Варіант 1. Варіант 2.

Варіант 1. Варіант 2.