3. Диференціювання функції комплексної змінної.

Для того, щоб функція була диференційована в точцінеобхідно і достатньо, щоб виконувались умови Коші-Рімана:

і

Похідна функції комплексної змінної знаходиться за формулами :

.

Геометричний зміст похідної функції комплексної змінної:

1. Модуль похідної виражає розтяг або стискання відстані між образами точокіпри відображенніплощинина площину.

2. Аргумент похідної характеризує кут, на який треба повернути дотичну в точцікривої площини, щоб отримати напрямок дотичної в точцідо образу цієї кривої на площиніпри відображенні.

Приклади:

1) Довести, що функція диференційована у всіх точках площини і знайти її похідну.

Розв’язок:

Маємо ,. Тоді. Тому,. Знаходимо,,,.

Окільки ця функція задовольняє умовам Коші-Рімана ,, то вона диференційована. Її похідну знаходимо за формулою.

Маємо: .(не впевнений в вірності степені «x+iy»а не «x+yi»...). Отже .

2) Знайти коефіцієнт розтягу , та кут поворотув точціпри відображенні функцією.

Розв’язок:

, якщо ,.(В методичці К россійська!). Знаходимо , отже.(!!!....!!!-не зрозуміла нісенітниця в записах методички). Маємо: ;;(здається не вірно).

3) Маємо уявну частину (перепровірити) диференційної функції . Знайти цю функцію.

Розв’язок:

Маємо . Тоді. Скориставшись формулою Коші-Рімана, маємо. Звідси

. Отже, , скориставшись другою умовою Коші-Рімана, маємо. Отже,, або. Звідси маємо

.

4. Інтегрування функції комплексної змінної.

Обчислення інтеграла від функції комплексної змінної зводится до обчислення звичайних криволінійних інтегралів. Якщо ,, то.

.(як я зрозумів цю формулу)

Теорема Коші. Якщо функція аналітична в обов’язковій області, обмеженій замкненим контуром Г , а також в точках цього контура, то

Г

У випадку багатов’язної(!!!!) області

;

У випадку двов’язної області (Мал. 10)

(не зрозумів , що за буква під другим інтегралом(поставив ГАММУ))

Г

Мал. 10

Інтегральна формула Коші.

Розглянемо інтеграл , деГ-замкнений контур, обмежуючий область D. Якщо точка , тоаналітична функція всерединіD і на Г. Тоді на підставі теореми Коші:

Нехай точка і обходиться контуромГ в додатному напрямі 1 раз. Вибравши коло (та ж проблема) радіусом R з центром в точці а, тобто

, , знайдемо.

Отже, .

Теорема. Якщо функція аналітична в області D, обмеженій замкненим контуром Г, і на самому контурі Г, то

, (1)

де ,, і контурГ обходиться в додатному напрямі. Рівність (1) називається 1-ою інтегральною формулою Коші, а інтеграл -

інтегралом Коші.

Інтеграли типу Коші.

Теорема. Якщо функція аналітична в областіD і на її границі Г, то для довільного натурального n можна записати формулу

, (2)

де ,.

Рівність (2) називається 2-ою інтегральною формулою Коші, а інтеграл

- інтегралом типу Коші.

Приклади.

1. Обчислити (2z-незрозуміло!)

а) с-відрізок б) с-дуга параболи,;

в) с-відрізки V , ().

Рішення:

Якщо ,, то, де,.

За формулою

маємо:

.

а

1+i-2

Мал. 11

) Контур С-відрізок,(Мал. 11)

тому

б

0 Z₁

Z₂

Мал. 12

) Контур С-дуга параболи;

(Мал. 12)

маємо

(скобка до «і» в методичці стоїть)

С₁

С₂

Z₂

Z₃

Мал. 12^/

в) Контур С=С₁+С₂ (Мал. 12^/) V

маємо ;,;

;,;

0 Z₁

0

1

-1

С

Мал. 13

2. Обчислити ,(Мал. 13)

Рішення: Розглянемо (в методичці!) в показниковій

формі,, тоді

(в формулі купа відпечатків і недопечатків!)

0

R=

Г

1

D

Мал. 14

3. Обчислити:

а) Г:

б) Г:

Рішення:

НА заметку!

а) ,- особливі точки (полюса) не належать областіD (Мал. 14)

Тому функція всередині області D і на контурі Г аналітична. Отже,

-Г:(не впевнений в «-Г»)

б) , ,(помилка) - особливі точки: ,. Оточимо точки(Мал. 15) коламиімалих радіусів – тоді

4

Г

R=4

-4

Мал. 15

0

-3i

3i

4. Обчислити

а)

б)

Рішення:

а) - особлива точка (полюс кратності 3). Ця точка належить областіD (мал. 16).

Застосувавши формулу (2), маємо

(в методичці незрозумілості)

б) Особливі точки:

Застосувавши формулу (2), маємо

Г

R=6

-3

9

0

D

3

2

(!!!!!)

Мал. 16 Мал. 17