РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ
СИЛ ТЯЖЕСТИ (РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА)
При выводе основного уравнения МКТ газов и распределения Максвелла предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, а это значит, что молекулы распределяются по объему равномерно. Однако молекулы любого газа всегда находятся в потенциальном поле сил тяжести Земли. Тяготение с одной стороны, и тепловое движение молекул – с другой приводят к некоторому стационарному состоянию, при котором давление газа с ростом высоты убывает.
Получим закон изменения давления с высотой, предполагая, что по всей высоте: поле тяготения однородно (g = const); температура одинакова (Т = const); массы всех молекул одинаковы.
П
усть
на высоте h
давление р. Тогда на высоте h
+ dh
давление – р + dp.
Причём, если dh
>0, то dp
< 0. (р + dp)
– р = – ·g·dh.
Из уравнения состояния Менделеева-Клапейрона,
имеем:
.
Теперь
или
.
Интегрируем правую и левую часть:
;
.
Откуда,
.
(26)
Это так называемая барометрическая формула. Она позволяет определять давление атмосферы как функцию высоты над уровнем моря:
.
(27)
Т.к. давление прямо пропорционально концентрации молекул, то можно получить закон изменения концентрации молекул с высотой при условии, что температура с высотой не меняется (Т = const):
.
(28)
Учитывая, что М = m∙NA, а R = k∙NA из (27) получим:
.
(29)
Т.к. mgh = U(h) – потенциальная энергия одной молекулы на высоте h, то
(30)
– распределение Больцмана.