2006_-Byelorussian_Pharmacopoeia_Volume_1

Критерий Вальда является оптимальным в том смысле, что среди всех последо-

вательных критериев он требует минимального среднего числа наблюдений при заданных значениях погрешности первого и второго рода.

На практике вычисления могут быть организованы следующим образом. На график наносят четыре прямые, задаваемые уравнениями, в которых n – номер испытания.

В этих уравнениях

где:

σ - стандартное отклонение метода, которое предполагается известным;

b и b' - верхний и нижний пределы содержания анализируемого вещества в образце;

δμ = ׀μ2 - μ1׀ – разность генеральных средних генеральных совокупностей f(x , μ0 ,σ) и f(x , μ0 ,σ); δμ задается экспериментатором и характеризует способность метода разли-

чать эти генеральные совокупности.

Прямые (8.6a-8.6d) разбивают плоскость на 5 областей (см. Рис. 8.1). Область 3

– это область принятия гипотезы Н0; области 1 и 5 – области принятия гипотезы Н1, области 2 и 4 – области продолжения наблюдений. Чем меньше σ и больше δμ , тем более узкими являются области 2 и 4 и тем быстрее сходится метод.

Испытания проводятся последовательно. После каждого испытания по оси ординат откладывается накопительная сумма полученных результатов. В зависимости от

того, куда попадает очередная точка, принимается одно из трех возможных решений:

попадание точки в область 3 означает, что образец выдерживает испытание; попадание в область 1 или 5 означает, что образец не выдерживает испытание; если точка

попадает в область 2 или 4, то испытания должны быть продолжены.

крыс были получены следующие данные (в порядке возрастания):

Таблица 9.2

По уравнениям 1.10 и 1.11а находим:

По Таблице 11.1 Приложения находим:

Q(9;95%) = 0,46 < Q1 = 0,53

Q(9;99%) = 0,55 > Q1 = 0,53

Следовательно, гипотеза о том, что значение х1 = 0,62 должно быть исключено

из рассматриваемой совокупности результатов измерений как отягощенное грубой погрешностью, может быть принята с доверительной вероятностью 95%, но должна быть отвергнута, если выбранное значение доверительной вероятности равно 99%.

9.3. Вычисление доверительных интервалов и неопределенностей измерений.

В результате определения содержания хинона в стандартном образце хингидрона были получены следующие данные (n=10).

Таблица 9.3

Доверительные интервалы результата отдельного определения и среднего ре-

зультата при Р2 = 90% получаем согласно (1.18) и (1.16):

xi ± x = xi ± t(P2 ,ν )× s = xi ± t(90%,9)× s = xi ± 1,83 × 0,1169 = xi ± 0,21

Тогда относительные неопределенности ε и ε , согласно (1.21) и (1.21), равны:

Обозначая истинное содержание хинона в хингидроне через μ, можно считать, что с 90% доверительной вероятностью справедливы неравенства:

μ − 0,21 ≤ xi ≤ μ + 0,21

xi − 0,21 ≤ μ ≤ xi + 0,21 (при любом i)

μ − 0,07 ≤ x ≤ μ + 0,07; x − 0,07 ≤ μ ≤ x + 0,07

(при n=10)

9.4. Проверка гипотезы равенства дисперсий.

9.4.1. Объединение результатов выборок разного объема.

В процессе проведения внутрилабораторных исследований неопределенности методики титрования субстанции ацетилсалициловой кислоты четырьмя (т.е. g = 4, νχ =

3) разными аналитиками получены средние значения xk и относительные стандартные

отклонения (RSDk%) для указанного числа опытов (nk), представленные ниже в Табли-

це 9.4.1.

Можно ли считать данные RSDk выборками из одной генеральной совокупности

и каковы объединенное x и RSDtot ?

Вначале проверим гипотезу равенства дисперсий, т.е. что все RSDk являются

выборками из одной генеральной совокупности.

= 2,303 ´ (25 ´ lg 0,552 - (4 ´ lg 0,09 + 6 ´ lg 0,64 + 8 ´ lg 0,49 + 7 ´ lg 0,81)) = 4,62

Табличное значение (по таблице 11.4) χ2(P1 = 0,95, νχ = 3) = 7,815 > 4,62.

Таким образом, значение χ2 меньше критического, поэтому можно принять гипотезу о равенстве дисперсий.

Значение χ2 меньше критического, и поэтому нет необходимости в расчете корректирующего фактора С и величины χ*2 . Для иллюстрации рассчитаем и эти величины по формуле (2.5):

Как видно, значение χ*2 еще меньше критического значения (7,815), что под-

тверждает гипотезу о равенстве дисперсий.

Рассчитаем объединенное RSDtot :

RSDtot = RSDtot2 = 0,552 = 0,74%

Рассчитаем объединенное среднее x по всем четырем выборкам по формуле

(2.3):

Таким образом, по данным внутрилабораторных исследований, относительное стандартное отклонение титрования субстанции ацетилсалициловой кислоты равно

0,74%, а ее содержание – 99,4%.

9.4.2. Объединение результатов выборок одинакового объема.

При анализе методом ВЭЖХ пяти различных серий (т.е. g = 5) лекарственного

средства получены следующие значения относительных стандартных отклонений (RSDi%) площадей пиков при трехкратном (т.е. n = 3) хроматографировании раствора каждой серии:

1,08%; 0,60%; 0,43%, 1,59% и 0,71%.

Можно ли объединять данные выборки (результаты анализа пяти серий) и каково объединенное относительное стандартное отклонение?

Поскольку в нашем случае число степеней свободы для всех пяти выборок (серий) одинаково и равно ν = n - 1 = 3 - 1 = 2, то для проверка гипотезы равенства дисперсий применим критерий Кохрейна (см. раздел 2.1.3 и Таблицу 11.4). В нашем случае smax = 1,59%, ν = 2, g = 5, и соотношение (2.6) дает:

k =1

Как видно, рассчитанное значение G меньше табличного на 95% уровне значимости. Следовательно, данные выборки можно объединить.

Рассчитаем по уравнению (2.2) объединенное число степеней свободы:

g

νt = åνk = 5 × 2 = 10

k =1

Рассчитаем по формуле (2.1b) объединенное относительное стандартное откло-

нение (RSDtot):

Отсюда RSDtot = 0,9510 = 0,98 .

9.5. Сравнение двух методик анализа по воспроизводимости.

Пусть для двух выборок аналитических данных (1 и 2), характеризующих, напри-

мер, различные методики анализа, получены метрологические характеристики, приведенные в графах 1—10 таблицы 9.5.:

Таблица 9.5

Для заполнения графы 10 вычислим значения t1 и t2:

та, что позволяет считать результаты выборки 1 свободными от систематической по-

грешности.

Напротив, поскольку t2=72,36 >> t2(95%, 15)=2,13, гипотезу μ2 - х2 ¹ 0 прихо-

дится признать статистически достоверной, что свидетельствует о наличии системати-

ческой погрешности в результатах выборки 2. В графу 13 вносим:

F = 17,92 >> F(99%;20;15 ) = 3,36

Следовательно, при Р1 = 99% гипотезу о различии дисперсий s12 и s22 следует признать статистически достоверной.

Выводы:

а) результаты, полученные при использовании первой методики, являются правильными, т. е. они не отягощены систематической погрешностью;

б) результаты, полученные при использовании второй методики, отягощены система-

тической погрешностью; в) по воспроизводимости вторая методика существенно лучше первой методики.

При проведении совместной статистической обработки нескольких выборок, полученных при анализе образцов с разным содержанием определяемого компонента μ, данные в графах 1, 2, 3, 4, 7 и 8 табл. 2.1 приводят отдельно для каждой выборки. При этом в графах 2, 4, 6, 7 в последней строке под чертой приводят обобщенные значения

ν , s, t, x.

Если для вычисления метрологических характеристик методики используются данные аналитического архива, значение μ не известно и, соответственно, заполняются не все графы таблицы 2.1.

9.6. Сравнение средних результатов двух выборок.

При определении содержания основного вещества в двух образцах препарата, изготовленных по разной технологии, получены метрологические характеристики средних результатов, приведенные в таблице 9.6. Требуется решить, является ли первый образец по данному показателю лучшим по сравнении со вторым образцом.

Таблица 9.6

SP = SP2 = 0,0802 = 0,283

ν = n1 + n2 − 2 = 8 + 6 − 2 = 12

t = 2,72 < t(99%;12 ) = 3,08

Следовательно, с доверительной вероятностью Р2 = 95% гипотеза х1 = х2

может быть принята (т.е. первый образец лучше второго по содержанию основного вещества). Однако с доверительной вероятностью Р2 = 99% принять эту гипотезу нельзя из-за недостатка информации.

Если гипотеза х1 = х2 принята, то определяют доверительный интервал разно-

^ ^

сти генеральных средних x1 − x2 (уравнение 5.10):

х1 − х2 − t(P2 ,ν )× sP ≤ x^1 − x^2 ≤ х1 − х2 + t(P2,ν )× sP

(P2 = 95%; ν = 12);

9.7. Оценка качества продукции.

Рассмотрим данные таблицы 9.6, относящиеся к выборке 1, как метрологиче-

скую характеристику используемого метрологически аттестованной методики анализа. а) Пусть amin = 98%, amax = 100,50%. Тогда для испытуемого образца продукта средний результат анализа A при проведении трех параллельных определений (т=3)

должен находиться в пределах:

При P1 = 99%:

При P1 = 95%:

б) Реальный средний результат анализа образца испытуемого продукта А=99%

(при m=3). Тогда определение пределов amin и amax, гарантированно характеризующих

качество данного образца с заданной доверительной вероятностью P1, проводим, ис-

ходя из уравнения (6.6) или (6.7), полагая Amin = Amax= А.

amin = A − U(P1 )× s

m

amax = A + U(P1 ) × s

m

При P1 = 99% :

amin = 99 − 2,33 × 0,464 = 98,38% 3

amax = 99 + 2,33 × 0,464 = 99,62% 3

При P1 = 95% :

amin = 99 − 1,65 × 0,464 = 98,56% 3

amax = 99 + 1,65 × 0,464 = 99,64% 3

Полученные оценки amin и amax близки к границам доверительного интервала

9.8. Контроль содержания салициловой кислоты в салициловом спирте посредством секвенционального анализа.

Определение содержания салициловой кислоты (СК, М=138,12) в спирте салициловом 2% проводили путем титрования спиртовым раствором щелочи с молярной

концентрацией 0,1000. Для титрования берутся пробы по 5 мл. На титрование идет V

мл щелочи. Результаты титрования (х – найденное содержание СК в процентах к номинальному содержанию) двух различных образцов приведены ниже в таблице 9.8.