6. Двійкова система числення. Як подаються числа у двійковій системі числення

Двійкова система числення — це система, в якій для запису чисел використовуються дві цифри 0 або 1. Основою системи числення є число 2.

Для запису числа у двійковій системі використовується представ­лення цього числа за допомогою степенів числа 2.

Розглянемо на прикладах, як подаються числа за допомогою степенів числа 2.

Спочатку розглянемо таблицю значень степенів числа 2.

Таблиця

п	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2п	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Скориставшись цією таблицею, можна записати:

0= 0*2⁰

1. = 2°= 1*2°

2. = 2¹ = 1*2¹ + 0*2⁰

3. = 2 + 1 = 2¹+ 2° = 1*2¹ +1*2⁰

4. = 2² = 1*2² + 0*2¹ + 0*2⁰

У загальному вигляді представлення цілого невід'ємного числа за допомогою степенів числа 2 записується аналогічно представлен­ню (1) з § 6 із заміною числа 10 на 2:

a_n 2ⁿ+a_n-1 2^n-1+……..+a₁ 2¹+a₀ 2⁰ (2)

Тут кожний із коефіцієнтів a_na_n-1+……..+a₁a₀ , є однією з двох двійкових цифр 0 або 1, причому a_n = 1.

Запис числа у двійковій системі відбувається так само, як і в де­сятковій: першою записується цифра а_п, другою — цифра а_п_₁ і т. д., останньою — цифра а₀.

Двійковий код числа — запис цього числа у двійковій системі числення.

Таким чином, двійковим кодом числа є послідовність коефі­цієнтів

a_na_n-1+……..+a₁a₀ , з представлення (2).

У наведених прикладах двійкові коди мають вигляд:

0= 02	5 =	1012
1= 12	6 =	1102
2 = 102	7 =	1112
3= 112	25 =	110012
4 = 1002	120 =	11110002

З формули (2) випливає простий спосіб запису війкового коду числа: число ділиться на два, і остачі від ділення, записані у зворотному порядку ,утворюють двійковий код числа.

Пронумеруємо розряди справа наліво. Номер най правішого (мо­лодшого) розряду дорівнює нулю. Номер най лівішого (старшого) розряду дорівнює показнику найбільшого степеня числа 2, що міститься в числі. Отже, загалом кількість розрядів, враховуючи ну­льовий, на один більша за номер старшого розряду (якщо, наприк­лад, номер старшого розряду дорівнює 7, то всього маємо 8 розрядів з номерами від 0 до 7. Номер кожного розряду дорівнює показнику відповідного степеня числа 2.

Номер розряду
Десяткове число	7	6	5	4	3	2	1	0
2510=				1	1	0	0	1
23510=
	23 біт=8=1 байт

25:2=12(остача=1 записуємо в 0 розряд) 12:2=6(остача=0 записуємо в 1 розряд)

6:2=3(остача=0 записуємо в 2 розряд) 3:2=1(остача=1 записуємо в 3 розряд) 1в четвертий розряд.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1. Чому в інформатиці використовується двійкова си­стема числення?

2. Які цифри використовуються для запису чисел у двійковій системі ?

3. Що є основою у двійковій системі?

4. Що таке біт? Що таке двійкова цифра?

5. Чому дорівнюють 2°, 2^і, ..., 2¹⁰?

6. Подайте числа 9, 12, 17, 19, 23, 27, ЗО, 32 у вигляді (2), скориставшись степенями числа 2.

7. Що називається двійковим кодом числа?

8. Запишіть двійкові коди чисел 9, 12, 17, 19, 23, 27, ЗО, 32.

9. Подайте у двійковій системі числа 31, 33, 121, 213, 264, 313, 396, 428, 500, 665, 792, 1023, 1025, 2000, 2047, скори­ ставшись таблицею степенів числа 2.

10. Чому старша цифра двійкового коду будь-якого числа завжди дорівнює одиниці ?