Лабораторна робота № 41-1. Дослідження фізичного маятника Мета роботи.

Дослідити згасаючі коливання фізичного маятника і за виміряним числом повних коливань N_ і часу релаксації  обчислити:

• сталу згасання ,

• коефіцієнт опору r,

• логарифмічний декремент згасання  ,

• добротність коливальної системи Q,

оцінити коефіцієнт тертя кочення.

Теоретичні відомості:

Фізичний маятник макроскопічне тіло, що здійснює малі періодичні коливання. Вісь обертання маятника О зміщена відносно центра мас тіла O_c на вектор . Коливання визначаються кутом відхилення тіла від положення рівноваги. Ці коливання здійснюються в загальному випадку під дією моменту зовнішніх сил, моменту сили тяжіннята моменту сил опору, де коефіцієнт опору. Величину моменту сили тяжіння можна записати у вигляді: М_g = mgLsin. Для малих коливань маятника маємо sin­   і М_g = mgL.

Використовуючи другий закон Ньютона для обертового руху, рівняння коливань можна записати так:

, (1.41)

де J  момент інерції тіла. Вектори лежать на одній прямій, а тому, взявши за додатній напрямок кутового прискорення, векторне рівняння можна записати в алгебраїчній формі:

. (2.41)

В канонічному вигляді рівняння (2.41) можна записати так

, (3.41)

де  коефіцієнт згасання коливань, ,₀  частота вільних незгасаючих коливань. Період малих власних коливань маятника T₀ = 2/₀ і T₀ = 2, деl_пр =  приведена довжина фізичного маятника. Для прикладу розглянемо вільні згасаючі коливання фізичного маятника. Рівняння згасаючих коливань є однорідним диференціальним рівнянням, яке враховує сили опору (3.41)

Розв'язок (3.41) шукаємо підстановкою Ейлера =e^t.

Знайдемо перші дві похідні від  по часу

e^t, =²e^t. (4.41)

Підставляючи похідні (4.41) в (3.41), одержимо:

e^t ( ² + 2 + ₀² ) = 0. (5.41)

Квадратне рівняння ² + 2 + ₀² = 0 в (5.41) називається характеристичним. Його розв'язок

, (6.41)

дає два фундаментальні розв'язки диференціального рівняння

₁ = exp(₁t), ₂ = exp(₂t), (7.41)

з яких утворюється загальний розв'язок. Загальним розв'язком однорідного рівняння (3.41) буде лінійна комбінація фундаментальних розв'язків

 = Аexp(₁t) + Bexp(₂t) (8.41)

з дійсними коефіцієнтами А, В.

Якісно розрізняють два випадки руху маятника:

1. При  > ₀  аперіодичний рух. При цьому ₁,₂ < 0  дійсні числа. Функція  є спадною функцією часу (₁,₂<0) і описує асимптотичне, в експоненційній залежності від часу, повернення маятника в стан рівноваги. При цьому коливальний рух не здійснюється.

2) Якщо  < ₀, маятник буде здійснювати коливальний рух. При цьому

₁ = - ­­+і, ₂ = - ­­-і, (9.41)

де і =  уявна одиниця,  =  частота вільних згасаючих коливань. Загальний розв'язок буде мати вигляд:

 = e^-t(Ae^it + Be^-it) (10.41)

з комплексними коефіцієнтами А, В. Для знаходження величин А та В зауважимо, що функція  є дійсною функцією часу, і за цим вона має дорівнювати своїй комплексно спряженій функції  = ^* 

e^-t(Ae^it+Be^-it) = e^-t(A*e^-it +B*e^it). (11.41)

Прирівнюючи в (11.41) коефіцієнти при однакових експонентах, одержимо В=А*. Для зручності комплексну сталу А візьмемо в експоненціальному вигляді

А = а₀e^i/2, де а₀  дійсна величина. Тепер

 = а₀/2·e^-t (e^i(t+) +e^-i(t+)) (12.41)

і, користуючись формулою Ейлера e^ix = cosx  isinx, вираз в дужках запишемо у вигляді:

 = а₀e^-t [cos(t+)+isin(t+)+cos(t+)-isin(t+)] 

 = ₀(t)cos(t+). (13.41)

В (13.41) ₀(t) = a₀e^-t  амплітуда коливань  спадна функція часу, Ф = t+  фаза коливань, Ф₀ =   початкова фаза.