1. Область .

2. Область .

Крок 2.6. Обчислимо значення повторного інтеграла по області .

1. Обчислимо внутрішній інтеграл:

.

2. Обчислимо зовнішній інтеграл:

.

Крок 2.7. Обчислимо значення повторного інтеграла по області .

1. Обчислимо внутрішній інтеграл:

1. Обчислимо зовнішній інтеграл:

.

.

Крок 2.8. Обчислимо площу області.

Площа області інтегрування дорівнює сумі площ частин розбиття:

.

Приклад 1.6

Обчислити об’єм циліндричного тіла, обмеженого поверхнею ,

площиною та циліндричною поверхнею, напрямна якої складається з дуг двох парабол:,, які розміщені в площиніХОУ.

Розв’язання

Крок 1. Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання умов існування подвійного інтеграла:

1. Функція є неперервною в області інтегрування.

2. Область інтегрування є квадровною замкненою, обмеженою областю.

З малюнку видно, що ця область є правильною в напряму обох осей.

Крок 1. Знайдемо кутові точки області інтегрування (точки перетину парабол), розв’язавши систему рівнянь:

Підставимо у з першого рівняння в друге, одержимо рівняння:

.

Рівняння має два корені: ,. За знайденими абсцисами кутових точок області інтегрування знайдемо ординати цих точок. Підставимо значення

, у рівняння. Одержимо,.

Кутові точки області інтегрування мають координати ,.

Крок 2. Опишемо аналітично область інтегрування за допомогою системи нерівностей.

Інтервал зміни значень х встановимо у відповідності до значень абсцис кутових точок іобласті інтегрування.

Змінна у приймає значення, які відповідають ординатам точок, що лежать на параболах (від нижньої до верхньої межі).

D:

Крок 3. Складемо подвійний інтеграл:

Крок 4. Запишемо його через повторні інтеграли, скориставшись аналітичним описом області інтегрування:

Крок 5. Обчислимо внутрішній інтеграл:

.

Крок 6. Підставимо знайдену функцію у зовнішній інтеграл і обчислимо його,

.

Об’єм циліндричного тіла дорівнює .

1.3. Тести для перевірки

умінь обчислення подвійних інтегралів

Крок 1. Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання умов існування подвійного інтеграла.

При обчисленні площі області інтегрування вважаємо, що підінтегральна функція , отже вона неперервна в цій області. Область інтегрування є квадровною замкненою, обмеженою областю.

З рисункувидно, що ця область є правильною в напряму осі ОУ.

2.Криволінійні інтеграли першого роду.

Основні поняття та теореми

35