Приклад 1.4

Обчислити подвійний інтеграл від функції по області. Побудувати область інтегрування. Обчислити інтеграл при різному порядку інтегрування.

Розв’язання

Крок 1. Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання достатніх умов існування подвійного інтеграла.

1. Областю інтегрування є прямокутник. Це квадровна область. 2. Підінтегральна функція є неперервною в області інтегрування. Область інтегрування є правильною в напряму обох осей.

Обчислимо подвійний інтеграл, проводячи заміну на повторний спочатку в напряму осі ОУ, а потім у напряму осі ОХ.

Варіант 1

Крок 1.1. Складемо подвійний інтеграл:

Крок 1.2. Замінимо його на повторний інтеграл, враховуючи, що область інтегрування є правильною в напряму осі ОУ:

Крок 1.3. Обчислимо внутрішній інтеграл:

.

Крок 1.4. Підставимо знайдену функцію у зовнішній інтеграл і обчислимо його,

.

Крок 1.5. Обчислимо подвійний інтеграл від функції :

.

Варіант 2

Обчислимо інтеграл, змінивши порядок інтегрування.

Крок 2.1. Складемо подвійний інтеграл:

Крок 2.2. Замінимо його на повторний інтеграл, враховуючи, що область інтегрування є правильною в напряму осі ОХ:

Крок 2. 3. Обчислимо внутрішній інтеграл:

.

Крок 2.4. Підставимо знайдену функцію у зовнішній інтеграл і обчислимо його,

.

Крок 2.5. Обчислимо подвійний інтеграл від функції :

.

Таким чином, бачимо, що значення інтеграла не залежить від порядку інтегрування.

Приклад 1.5

Обчислити площу області D, яка обмежена прямими ,і гіперболою, якщота. Обчислення виконати, для повторних інтегралів, взятих у різних напрямах.

Розв’язання

Крок 1. Побудуємо область інтегрування. Перевіримо виконання умов існування подвійного інтеграла.

При обчисленні площі області інтегрування вважаємо, що підінтегральна функція , отже вона неперервна в цій області. Область інтегрування є квадровною замкненою обмеженою областю.

З рисунку видно, що ця область є правильною в напряму обох осей.

Крок 2. Знайдемо кутові точки області інтегрування. Область має три кутові точки:

– точка В перетину прямих та; її координати;

– точка С перетину прямої і гіперболи; її координати;

– точка А перетину прямої і гіперболи.

Знайдемо координати точки А, розв’язавши систему

Підставимо значення невідомого у з першого рівняння в друге, одержимо рівняння з невідомим :

.

Рівняння має два корені: ,. Виходячи з умови задачі, вибираємо додатний корінь.

Знайдемо ординату кутової точки А. Підставимо значення у рівняння, одержимо.

Кутові точки області інтегрування мають координати ,,.

Варіант 1

Крок 1.3. Область інтегрування D є правильною в напряму осі ОУ. Опишемо її аналітично за допомогою системи нерівностей.

Інтервал зміни значень змінної х встановимо у відповідності до значень абсцис кутових точок іобласті інтегрування.

Значення змінної у в межах області інтегрування D обмежені знизу величинами ординат точок, які належать гіперболі (нижня межа), а зверху величинами ординат точок, які належать прямій(верхня межа).

D:

Крок 1.4. Запишемо подвійний інтеграл через повторний інтеграл, скориставшись аналітичним описом області інтегрування:

Крок 1.5. Обчислимо внутрішній інтеграл:

Крок 1.6. Підставимо знайдену функцію у зовнішній інтеграл і обчислимо його,

.

Площа області інтегрування дорівнює .

Обчислимо подвійний інтеграл, змінивши порядок інтегрування.

Варіант 2

Крок 2.3. Область інтегрування D є правильною в напрямі осі ОХ.

Але її нижня межа складається з двох ланцюгів: перший належить гіперболі , а другий прямій. Тому, розіб’ємо область на дві частини: .

Опишемо кожну частину розбиття область інтегрування D аналітично за допомогою систем нерівностей.

1. Розглянемо область .

Інтервал зміни значень змінної у встановимо у відповідності до значень ординат кутових точок іобласті інтегрування.

Значення змінної х в межах області обмежені знизу величинами абсцис точок, які належать гіперболі(нижня межа), а зверху величинами абсцис точок, які належать прямій(верхня межа).

.

2. Розглянемо область .

Інтервал зміни значень змінної у встановимо у відповідності до значень ординат кутових точок іобласті інтегрування.

Значення змінної х в межах області обмежені знизу величинами абсцис точок, які належать прямій(нижня межа), а зверху величинами абсцис точок, які належать прямій(верхня межа).

.

Крок 2.4. Складемо подвійний інтеграл:

Крок 2.5. Запишемо подвійний інтеграл через повторні інтеграли, скориставшись аналітичним описом області інтегрування. Для кожної частини розбиття виконаємо окремо перехід від подвійного інтеграла до повторного.