Подвійний інтеграл

Знайдемо границю подвійної інтегральної суми при ,. Якщо вона існує, позначимо її:

(1.4)

Повернемось до інтегральної суми . Позначимо найбільшу з елементарних площ,.

Якщо інтегральна сума при має границю,

(1.5)

яка не залежить ні від способу розбиття області D на частини , ні від вибору точок, ,в цих частинах, то ця границя називається подвійним інтегралом по області і позначається

(1.6)

Якщо існує границя інтегральної суми функції , то функція називається інтегровною в області D; D – область інтегрування; х, у – змінні інтегрування; (або) –елемент площі.

Теорема 1.1. (достатні умови інтегровності функції).

Якщо функція неперервна в замкненій квадровній області D, то вона інтегровна в цій області . Таким чином, існує границя інтегральної суми, формула (1.5), яка не залежить ні від способу розбиття області D на частини , ні від вибору проміжних точок в цих частинах.

Обидві границі, формули (1.4) і (1.5), відповідають точному значенню шуканої величини F . Отже справедлива рівність:

2. Правильні області

Для довільної області D процес складання інтегральної суми та знаходження

значення подвійного інтеграла як границі інтегральної суми є досить складним. Розглянемо більш прості види областей на евклідовій площині.

Області правильні в напряму координатних осей

Рис.1.8	D: (1.7) Криві , обмежують область в напряму осіОУ.
Рис. 1.9	D: (1.8) Криві , обмежують область в напряму осіOX.
Рис.1.10	Область довільної форми можна розглядати як об'єднання скінченної кількості правильних областей (рис.1.10), які не мають спільних внутрішніх точок. ОбластіА, В та С правильні в напряму координатної осі ОУ.

а) Область D є правильною в напряму координатної осі OY, якщо будь-яка пряма паралельна до цієї осі перетинає межі області не більше як в двох точках (рис.1.8). Область D правильну в напряму осі OY можна описати аналітично системою нерівностей, формула (1.7).

б) Область D є правильною в напряму осі OX, якщо будь-яка пряма паралельна

до осі OX перетинає межі області не більше як в двох точках (рис.1.9). Таку

область можна описати аналітично системою нерівностей, формула (1.8).

3. Властивості подвійного інтеграла.

Конструктивно означення визначеного інтеграла і подвійного інтеграла аналогічні. Ці інтеграли є границею певних інтегральних сум, тому і їх властивості теж є аналогічними.

Границі інтегральних сум, формули (1.4) та (1.5), існують, якщо функція – неперервна в області D, а область D – обмежена замкнена квадровна область евклідового двовимірного простору.

Властивості подвійних інтегралів

1. Лінійність подвійного інтеграла.

Якщо підінтегральна функція є лінійною комбінацією інтегрованих функцій, то подвійний інтеграл можна представити у вигляді аналогічної лінійної комбінації подвійних інтегралів:

(1.9)

де та – дійсні числа.

2. Адитивність подвійного інтеграла відносно області інтегрування.

Якщо область можна представити як об’єднання областей, які не мають спільних точок крім межових, то подвійний інтеграл можна обчислювати як суму подвійних інтегралів, обчислених по кожній з областей окремо:

(1.10)

де область D є об’єднанням двох областей, та , які не мають спільних внутрішніх точок.

Зауваження. Скориставшись цією властивістю часто вдається проводити інтегрування по складним областям (рис. 1.9), розбивши їх на правильні області.

3. Існує середнє значення функції в області інтегрування:

(1.11)

де – площа області інтегрування D,

–деяка внутрішня точка області інтегрування D.

Якщо функція є інтегровною, то значення подвійного інтеграла дорівнює добутку середнього значення функції в області інтегрування на площу цієї області.

Зауваження. В області інтегрування D існує внутрішня точка , в

якій значення підінтегральної функції відповідає середньому значенню цієї функції в області інтегрування D .

Середнє значення підінтегральної функції в області інтегрування D можна обчислити за формулою:

(1.12)

4. Якщо в області D підінтегральна функція невід’ємна, , то

подвійний інтеграл приймає невід’ємні значення:

(1.13)

5. Якщо функції івизначені в одній і тій самій області D і в точках цієї області для значень функції має місце нерівність , то ця нерівність має місце і для подвійних інтегралів:

(1.14)

6. Оцінка подвійного інтеграла:

(1.15)

де – площа області D; і– відповідно найменше і найбільше значення підінтегральної функції в області D.

Подвійний інтеграл від функція ,обмеженої в області інтегрування, приймає числове значення, яке задовольняє нерівність (1.15).

4. Обчислення подвійних інтегралів.

Обчислення подвійного інтеграла як границі інтегральної суми пов’язано із значними труднощами. Для спрощення обчислень подвійні інтеграли зводять до послідовного обчислення двох визначених інтегралів (двократного повторного інтегрування).

Розглянемо область D правильну в напряму осі ОУ (рис.1.8), обмежену прямими та,, і кривимита,для,то для подвійного інтеграла справедлива формула:

(1.16)

Якщо область D правильна в напряму осі ОХ (рис.1.9), обмежена прямими та,, і кривимита,для,то для подвійного інтеграла справедлива формула:

(1.17)

Інтеграли в правій частині формул (1.16) і (1.17) називають повторними інтегралами.

Повторні інтеграли в правих частинах цих рівностей називають інтегралами з різним порядком інтегрування.

Порядок інтегрування подвійних інтегралів

1. Обчислення повторних інтегралів починають з внутрішніх інтегралів.

Інтегрування ведеться по змінній, яка стоїть під знаком диференціала у внутрішньому інтегралі. Причому, змінну, по якій не проводиться інтегрування, вважають за сталу. В наслідок інтегрування одержують функцію однієї змінної, по якій не велося інтегрування:

, (1.18)

або

. (1.19)

2. Одержану функцію однієї змінної підставляють у зовнішній визначений інтеграл:

(1.20)

або

(1.21)

Для визначення меж інтегрування, при заміні подвійного інтеграла на повторні інтеграли (формули (1.16), (1.17)), можна користуватись системами нерівностей, формула (1.7) або (1.8), які описують правильну область інтегрування D.

Зауваження. Зовнішній інтеграл завжди має сталі межі, які характеризують інтервал значень змінної, по якій ведеться інтегрування у зовнішньому інтегралі. Межі внутрішнього інтеграла можуть бути як сталими так і функціями, в залежності від структури області інтегрування.