Кратні та криволінійні інтеграли

1. Подвійний інтеграл Основні поняття та теореми

Узагальнимо основні ідеї і методи інтегрального числення функції однієї змінної на функції двох змінних.

Подвійний інтеграл розглядається в квадровній області D евклідової площини для обмеженої функції ,яка визначена в точках цієї області. Точки є точками двовимірного Евклідова простору.

Базові поняття, які вводяться при вивченні теми "Подвійні інтеграли": замкнена область, відкрита область, квадровна область, інтегральна сума функції двох змінних, подвійна сума, подвійний інтеграл, область інтегрування, функція інтегровна в області, змінні інтегрування, елемент площі, область правильна в напряму заданої осі, повторні інтеграли, інтеграли з різним порядком інтегрування.

Двовимірний Евклідів простір

Двовимірний Евклідів простір (евклідова площина) – це множина точок та векторів у декартовій системі координат ХОУ, на якій для будь-якої пари точок та площини визначена функція

. (1.1)

Значення функції відповідають відстані між точками і декартової площини.

Функція називається евклідовою метрикою на множині Е. Метрика задовольняє умови:

1. невід’ємна, тобто для будь-якої пари точок і

декартової площини ХОУ;

2. для будь-якої пари точок і ;

3. має місце нерівність трикутника, , для будь-якої трійки точок , , ;

4. приймає нульове значення, , якщо точки декартової площини ХОУ співпадають, .

Зауваження. Двовимірний Евклідів простір є скінчено вимірним дійсним векторним простором із визначеним в ньому скалярним добутком, за допомогою якого вводиться метрика простору, формула (1.1).

Область в Евклідовому просторі

При обчисленні подвійних інтегралів розглядають деяку множину точок евклідової площини, яка задовольняє певним умовам.

Обмежена областьабо обмежена множина точок у двовимірному (тривимірному ) Евклідовому просторі – це така множина, для якої існує коло (куля), що цілком містить всі

точки області (рис.1.1).

Рис. 1.1

Рис. 1.2

Рис. 1.3

Область D є зв’язною у Евклідовому просторі, якщо будь-які дві точки області можна сполучити ламаною, яка цілком складається з точок області (рис. 1.2).

Внутрішня точка Р області D Евклідова простору – це точка даної множини , для якої існує відкрите коло (відкрита куля), що містить цю точку і цілком складається з точок множини D (рис.1.3).

Відкрита область (або просто область) у Евклідовому просторі – це зв’язна множина, яка складається тільки з внутрішніх точок області.

Межова точка М області D Евклідовому просторі – це точка області для якої, у будь-якому відкритому колі (відкритій кулі), що містить її, є як точки, що належать цій області, так і точки, які їй не належать (рис. 1.3).

Область Евклідова простору є замкненою (закритою), якщо вона включає як внутрішні, так і всі точки своєї межі.

Область D декартової площини ХОУ називається квадровною, якщо вона має

площу.

1. Поняття подвійного інтеграла.

Подвійний інтеграл є найпростішим видом кратних інтегралів, який використовують для обчислення значень змінних величин, що залежать від функції двох змінних х та у, , та множини впорядкованих пар дійсних чисел, на якій визначена ця функція. Значення незалежних змінних можна розглядати як координати точок декартової площиниХОУ.

Таким чином, при обчисленні подвійних інтегралів розглядають область , яка є обмеженою замкненою квадровною областю евклідової площини. Її межа складається із скінченої кількості неперервних кривих, кожна з яких визначається функцією виду або та функцію двох змінних , що визначена в точках областіD.