Курсовапо ТУ

Федеральное агентство по образованию

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Динамика и прочность машин»

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Выполнила ст. гр. ДПМ-03 Ивукова Л.А.

Проверила к. ф.-м. н. Лежнёва А.А.

Пермь, 2006

Задача

Определить напряженно-деформированное состояние двухслойного цилиндра, находящегося в поле температур. Считать известными температуру внешней границы цилиндра и температуру на оси цилиндра. Принять: Т₁=400^о, Т₂=50^о, R₂/R₁=3.0, Е₁⁴⁰⁰=5*10⁴ МПа, α₁⁴⁰⁰=2,1*10^-5. Материал наружного цилиндра – медь. Построить эпюры напряжений.

Будем считать температуру распределенной симметрично оси и не зависящей от координаты z.

Предположим, что осевое перемещение w всюду равно нулю.

В случае плоской деформации мы имеем три компоненты напряжений σ_r, σ_θ, σ_z; все три деформации сдвига и касательные напряжения равны нулю в силу симметрии относительно оси и постоянства условий в осевом направлении. Соотношения между напряжениями и деформациями имеют вид:

Так как w=0, имеем ε_z=0 и третье из уравнений дает

()

Подставляем это значение в первые два уравнения и получаем

(1)

(2)

Справедливо уравнение равновесия:

Разрешая соотношения (1) и (2) относительно σ_r и σ_θ, получим:

С учетом этого уравнение равновесия принимает вид:

(3)

Если через U обозначить радиальное перемещение, то имеем

Подставляя эти выражения в уравнение (3), получаем

Это уравнение можно перезаписать в виде

Интегрирование уравнения дает:

Из уравнения () находим:

Чтобы всюду выполнялось условие w=0, к концам цилиндра нужно приложить нормальные усилия, распределенные в соответствии с формулой (7). Но теперь следует наложить постоянное осевое напряжение σ_z=С₃, выбрав С₃ таким образом, чтобы результирующее усилие по торцам цилиндра равнялось нулю. Согласно принципу Сен-Венана, самоуравновешенные распределения усилий, остающиеся при этом на обоих концах, будут вызывать среди них только местные эффекты. Напряжения σ_r и σ_θ будут по-прежнему определяться формулами (5) и (6). На перемещение U влияет, однако, осевое напряжение С₃. Поэтому к правой части уравнения (4) должен быть добавлен член . Такое осевое перемещение будет соответствовать однородному распределению напряжения С₃.

Для внутреннего цилиндра:

Список литературы

1. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для строит. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1990.

2. Сопротивление материалов/ Под ред. акад. АН УССР Писаренко Г.С. – 5-е изд. перераб. и доп. – Киев: Вища шк. Головное изд-во, 1986.

3. Тимошенко С.П. Курс теории упругости/Под ред. Григолюка Э.И. – Киев: Наукова думка, 1972.

4. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. перев. с англ. – Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1975

Содержание

1. Решение методами теории упругости

2. Решение методами сопротивления материалов

3. Вывод

6