Паскаль / shenn / Шень / G8

ѓ« ў  8. Љ Є ®Ў®©вЁбм ЎҐ§ ४габЁЁ.

„«п г­ЁўҐаб «м­ле п§лЄ®ў Їа®Ја ¬¬Ёа®ў ­Ёп (Є Є®ўл¬ пў«пҐвбп
Ї бЄ «м) ४габЁп ­Ґ ¤ Ґв ­ЁзҐЈ® ­®ў®Ј®: ¤«п ўбпЄ®© ४габЁў­®©
Їа®Ја ¬¬л ¬®¦­® ­ ЇЁб вм нЄўЁў «Ґ­в­го Їа®Ја ¬¬г ЎҐ§ ४габЁЁ.
Њл ­Ґ Ўг¤Ґ¬ ¤®Є §лў вм нв®Ј®,   Їа®¤Ґ¬®­бваЁа㥬 ­ҐЄ®в®алҐ ЇаЁ-
Ґ¬л, Ї®§ў®«пойЁҐ Ё§Ў ўЁвмбп ®в ४габЁЁ ў Є®­ЄаҐв­ле бЁвг жЁпе.
‡ зҐ¬ нв® ­г¦­®? ЋвўҐв Їа Ј¬ вЁЄ  ¬®Ј Ўл Ўлвм в ЄЁ¬: ў®
¬­®ЈЁе Є®¬ЇмовҐа е (ў ⮬ зЁб«Ґ, Є ᮦ «Ґ­Ёо, Ё ў ᮢ६Ґ­­ле,
ЁбЇ®«м§гойЁе в Є ­ §лў Ґ¬лҐ RISC-Їа®жҐбб®ал), ४габЁў­лҐ Їа®Ј-
а ¬¬л ў ­ҐбЄ®«мЄ® а § ¬Ґ¤«Ґ­­ҐҐ ᮮ⢥вбвўгойЁе ­ҐаҐЄгабЁў­ле
Їа®Ја ¬¬. …йҐ ®¤Ё­ ў®§¬®¦­л© ®вўҐв: ў ­ҐЄ®в®але п§лЄ е Їа®Ја ¬-
¬Ёа®ў ­Ёп ४габЁў­лҐ Їа®Ја ¬¬л § ЇаҐйҐ­л. Ђ Ј« ў­®Ґ, ЇаЁ г¤ «Ґ-
­ЁЁ ४габЁЁ ў®§­ЁЄ ов Ё§пй­лҐ Ё Ї®гзЁвҐ«м­лҐ Є®­бвагЄжЁЁ.

8.1. ’ Ў«Ёж  §­ зҐ­Ё© (¤Ё­ ¬ЁзҐбЄ®Ґ Їа®Ја ¬¬Ёа®ў ­ЁҐ)

8.1.1. ‘«Ґ¤гой п ४габЁў­ п Їа®жҐ¤га  ўлзЁб«пҐв зЁб«  б®-
зҐв ­Ё© (ЎЁ­®¬Ё «м­лҐ Є®нддЁжЁҐ­вл). Ќ ЇЁб вм нЄўЁў «Ґ­в­го ­Ґ-
४габЁў­го Їа®Ја ¬¬г.

function C(n,k: integer):integer;
| {n,k >=0; k <=n}
begin
| if (k = 0) or (k = n) then begin
| | C:=1;
| end else begin {0<k<n}
| | C:= C(n-1,k-1)+C(n-1,k)
| end;
end;

‡ ¬Ґз ­ЁҐ. C(n,k) - зЁб«® k-н«Ґ¬Ґ­в­ле Ї®¤¬­®¦Ґбвў n-н«Ґ¬Ґ­в­®Ј®
¬­®¦Ґбвў . ‘®®в­®иҐ­ЁҐ C(n,k) = C(n-1,k-1)+C(n-1,k) Ї®«гзЁвбп,
Ґб«Ё ¬л дЁЄбЁа㥬 ­ҐЄ®в®ал© н«Ґ¬Ґ­в n-н«Ґ¬Ґ­в­®Ј® ¬­®¦Ґбвў  Ё
®в¤Ґ«м­® Ї®¤бзЁв Ґ¬ k-н«Ґ¬Ґ­в­лҐ ¬­®¦Ґбвў , ўЄ«оз ойЁҐ Ё ­Ґ
ўЄ«оз ойЁҐ нв®в н«Ґ¬Ґ­в. ’ Ў«Ёж  §­ зҐ­Ё© C(n,k)

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
.................

­ §лў Ґвбп ваҐгЈ®«м­ЁЄ®¬ Џ бЄ «п (в®Ј® б ¬®Ј®). ‚ ­Ґ¬ Є ¦¤л©
н«Ґ¬Ґ­в, Єа®¬Ґ Єа ©­Ёе Ґ¤Ё­Ёж, а ўҐ­ б㬬Ґ ¤ўге бв®пйЁе ­ ¤ ­Ё¬.

ђҐиҐ­ЁҐ. Њ®¦­® ў®бЇ®«м§®ў вмбп д®а¬г«®©
C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)
Њл, ®¤­ Є®, ­Ґ Ўг¤Ґ¬ нв®Ј® ¤Ґ« вм, в Є Є Є е®вЁ¬ Їа®¤Ґ¬®­бваЁа®-
ў вм Ў®«ҐҐ ®ЎйЁҐ ЇаЁҐ¬л гбва ­Ґ­Ёп ४габЁЁ. ‘®бв ўЁ¬ в Ў«Ёжг
§­ зҐ­Ё© дг­ЄжЁЁ C(n,k), § Ї®«­пп ҐҐ ¤«п n = 0, 1, 2,..., Ї®Є 
­Ґ ¤®©¤Ґ¬ ¤® Ё­вҐаҐбго饣® ­ б н«Ґ¬Ґ­в .

8.1.2. —в® ¬®¦­® бЄ § вм ® ўаҐ¬Ґ­Ё а Ў®вл ४габЁў­®© Ё ­Ґ-
४габЁў­®© ўҐабЁ© ў ЇаҐ¤л¤г饩 § ¤ зҐ? ’®в ¦Ґ ў®Їа®б ® Ї ¬пвЁ.

ђҐиҐ­ЁҐ. ’ Ў«Ёж  § ­Ё¬ Ґв ¬Ґбв® Ї®ап¤Є  n*n, ҐЈ® ¬®¦­® б®Є-
а вЁвм ¤® n, Ґб«Ё § ¬ҐвЁвм, зв® ¤«п ўлзЁб«Ґ­Ёп б«Ґ¤го饩 бва®ЄЁ
ваҐгЈ®«м­ЁЄ  Џ бЄ «п ­г¦­  в®«мЄ® ЇаҐ¤л¤гй п. ‚६п а Ў®вл ў
®Ў®Ёе б«гз пе Ї®ап¤Є  n*n. ђҐЄгабЁў­ п Їа®Ја ¬¬  вॡгҐв бг-
йҐб⢥­­® Ў®«м襣® ўаҐ¬Ґ­Ё: ўл§®ў C(n,k) бў®¤Ёвбп Є ¤ўг¬ ўл§®ў ¬
¤«п C(n-1,..), ⥠- Є зҐвл६ ўл§®ў ¬ ¤«п C(n-2,..) Ё в.¤. ’ ЄЁ¬
®Ўа §®¬, ўаҐ¬п ®Є §лў Ґвбп нЄбЇ®­Ґ­жЁ «м­л¬ (Ї®ап¤Є  2 ў б⥯Ґ­Ё
n). €бЇ®«м§гҐ¬ п ४габЁў­®© ўҐабЁҐ© Ї ¬пвм Їа®Ї®ажЁ®­ «м­  n -
г¬­®¦ Ґ¬ Ј«гЎЁ­г ४габЁЁ (n) ­  Є®«ЁзҐбвў® Ї ¬пвЁ, ЁбЇ®«м§гҐ¬®Ґ
®¤­Ё¬ нЄ§Ґ¬Ї«п஬ Їа®жҐ¤гал (Є®­бв ­в ).

Љ а¤Ё­ «м­л© ўлЁЈали ў® ўаҐ¬Ґ­Ё ЇаЁ ЇҐаҐе®¤Ґ ®в ४габЁў­®© ўҐа-
бЁЁ Є ­ҐаҐЄгабЁў­®© бўп§ ­ б ⥬, зв® ў ४габЁў­®¬ ў аЁ ­вҐ ®¤-
­Ё Ё ⥠¦Ґ ўлзЁб«Ґ­Ёп Їа®Ёб室пв ¬­®Ј® а §. Ќ ЇаЁ¬Ґа, ўл§®ў
C(5,3) ў Є®­Ґз­®¬ бзҐвҐ Ї®а®¦¤ Ґв ¤ў  ўл§®ў  C(3,2):

C(5,3)
/ \
C(4,2) C(4,3)
/ \ / \
C(3,1) C(3,2) C(3,3)
......................

‡ Ї®«­пп в Ў«Ёжг, ¬л Є ¦¤го Є«ҐвЄг § Ї®«­пҐ¬ в®«мЄ® ®¤­ ¦¤л -
®вбо¤  Ё нЄ®­®¬Ёп. ќв®в ЇаЁҐ¬ ­ §лў Ґвбп ¤Ё­ ¬ЁзҐбЄЁ¬ Їа®Ја ¬¬Ё-
а®ў ­ЁҐ¬, Ё ЇаЁ¬Ґ­Ё¬ ў вҐе б«гз пе, Є®Ј¤  ®ЎкҐ¬ еа ­Ё¬®© ў в Ў-
«ЁжҐ Ё­д®а¬ жЁЁ ®Є §лў Ґвбп ­Ґ б«ЁиЄ®¬ Ў®«миЁ¬.

8.1.2. Џ®а бб㦤 вм ­  вг ¦Ґ ⥬㠭  ЇаЁ¬ҐаҐ ४габЁў­®© Ё
(Їа®б⥩襩) ­ҐаҐЄгабЁў­®© Їа®Ја ¬¬ ¤«п ўлзЁб«Ґ­Ёп зЁбҐ« ”ЁЎ®-
­ ззЁ, § ¤ ­­ле ᮮ⭮襭ЁҐ¬
f(1) = f (2) = 1; f(n) = f(n-1) + f(n-2) ¤«п n > 2.

8.1.3. „ ­ ўлЇгЄ«л© n-гЈ®«м­ЁЄ (§ ¤ ­­л© Є®®а¤Ё­ в ¬Ё бў®Ёе
ўҐаиЁ­ ў Ї®ап¤ЄҐ ®Ўе®¤ ). …Ј® ࠧ१ ов ­  ваҐгЈ®«м­ЁЄЁ ¤Ё Ј®­ -
«п¬Ё, ¤«п 祣® ­Ґ®Ўе®¤Ё¬® n-2 ¤Ё Ј®­ «Ё (¤®Є ¦ЁвҐ Ё­¤гЄжЁҐ© Ї®
n). ‘в®Ё¬®бвмо ࠧ१ ­Ёп ­ §®ўҐ¬ б㬬㠤«Ё­ ўбҐе ЁбЇ®«м§®ў ­­ле
¤Ё Ј®­ «Ґ©. Ќ ©вЁ ¬Ё­Ё¬ «м­го бв®Ё¬®бвм ࠧ१ ­Ёп. —Ёб«®
¤Ґ©бвўЁ© ¤®«¦­® Ўлвм ®Ја ­ЁзҐ­® ­ҐЄ®в®ал¬ ¬­®Ј®з«Ґ­®¬ ®в n. (ЏҐ-
ॡ®а ­Ґ Ї®¤е®¤Ёв, в Є Є Є зЁб«® ў аЁ ­в®ў ­Ґ ®Ја ­ЁзҐ­® ¬­®Ј®з-
«Ґ­®¬.)

ђҐиҐ­ЁҐ. Ѓг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® ўҐаиЁ­л Їа®­г¬Ґа®ў ­л ®в 1 ¤® n
Ё Ё¤гв Ї® з б®ў®© бв५ЄҐ. Џгбвм k, l - ­®¬Ґа  ўҐаиЁ­, ЇаЁзҐ¬
l>k. —ҐаҐ§ A(k,l) ®Ў®§­ зЁ¬ ¬­®Ј®гЈ®«м­ЁЄ, ®в१ Ґ¬л© ®в ­ иҐЈ®
е®а¤®© k--l. (ќв  е®а¤  ࠧ१ Ґв ¬­®Ј®гЈ®«м­ЁЄ ­  2, ®¤Ё­ Ё§
Є®в®але ўЄ«оз Ґв бв®а®­г 1--n; зҐаҐ§ A(k,l) ¬л ®Ў®§­ з Ґ¬ ¤аг-
Ј®©.) €б室­л© ¬­®Ј®гЈ®«м­ЁЄ ҐбвҐб⢥­­® ®Ў®§­ зЁвм A(1,n). ЏаЁ
l=k+1 Ї®«гз Ґвбп "¤ўггЈ®«м­ЁЄ" б б®ўЇ ¤ ойЁ¬Ё бв®а®­ ¬Ё.









—ҐаҐ§ a(k,l) ®Ў®§­ зЁ¬ бв®Ё¬®бвм ࠧ१ ­Ёп ¬­®Ј®гЈ®«м­ЁЄ 
A(k,l) ¤Ё Ј®­ «п¬Ё ­  ваҐгЈ®«м­ЁЄЁ. Ќ ЇЁиҐ¬ ४га७в­го д®а¬г«г
¤«п a(k,l). ЏаЁ l=k+1 Ї®«гз Ґвбп ¤ўггЈ®«м­ЁЄ, Ё ¬л Ї®« Ј Ґ¬
a(k,l)=0. ЏаЁ l=k+2 Ї®«гз Ґвбп ваҐгЈ®«м­ЁЄ, Ё ў н⮬ б«гз Ґ в Є-
¦Ґ a(k,l)=0. Џгбвм l > k+2. •®а¤  k--l пў«пҐвбп бв®а®­®© ¬­®Ј®-
гЈ®«м­ЁЄ  A(k,l) Ё, б«Ґ¤®ў вҐ«м­®, бв®а®­®© ®¤­®Ј® Ё§ ваҐ-
гЈ®«м­ЁЄ®ў, ­  Є®в®алҐ ®­ ࠧ१ ­. Џа®вЁў®Ї®«®¦­®© ўҐаиЁ­®© i
нв®Ј® ваҐгЈ®«м­ЁЄ  ¬®¦Ґв Ўлвм «оЎ п Ё§ ўҐаиЁ­ k+1,...,l-1, Ё ¬Ё-
­Ё¬ «м­ п бв®Ё¬®бвм ࠧ१ ­Ёп ¬®¦Ґв Ўлвм ўлзЁб«Ґ­  Є Є

min {(¤«Ё­  е®а¤л k--i)+(¤«Ё­  е®а¤л i--l)+a(k,i)+a(i,l)}

Ї® ўбҐ¬ i=k+1,..., i=l-1. ЏаЁ н⮬ ­ ¤® гзҐбвм, зв® ЇаЁ i=k+1
е®а¤  k--i - ­Ґ е®а¤ ,   бв®а®­ , Ё ҐҐ ¤«Ё­г ­ ¤® бзЁв вм а ў­®©
0 (Ї® бв®а®­Ґ ࠧ१ ­Ґ Їа®ў®¤Ёвбп).

‘®бв ўЁў в Ў«Ёжг ¤«п a(k,l) Ё § Ї®«­пп ҐҐ ў Ї®ап¤ЄҐ ў®§а б-
в ­Ёп зЁб«  ўҐаиЁ­ (а ў­®Ј® l-k+2), ¬л Ї®«гз Ґ¬ Їа®Ја ¬¬г, Ёб-
Ї®«м§гойго Ї ¬пвм Ї®ап¤Є  n*n Ё ўаҐ¬п Ї®ап¤Є  n*n*n (®¤­®Єа в­®Ґ
ЇаЁ¬Ґ­Ґ­ЁҐ ४га७⭮© д®а¬г«л вॡгҐв ўлЎ®а  ¬Ё­Ё¬г¬  Ё§ ­Ґ
Ў®«ҐҐ 祬 n зЁбҐ«).

8.1.4. Њ ваЁжҐ© а §¬Ґа  m*n ­ §лў Ґвбп Їаאַ㣮«м­ п в Ў«Ё-
ж  Ё§ m бва®Є Ё n бв®«Ўж®ў, § Ї®«­Ґ­­ п зЁб« ¬Ё. Њ ваЁжг а §¬Ґа 
m*n ¬®¦­® г¬­®¦Ёвм ­  ¬ ваЁжг а §¬Ґа  n*k (иЁаЁ­  «Ґў®Ј® ᮬ­®-
¦ЁвҐ«п ¤®«¦­  а ў­пвмбп ўлб®вҐ Їа ў®Ј®), Ё Ї®«гз Ґвбп ¬ ваЁж 
а §¬Ґа®¬ m*k. –Ґ­®© в Є®Ј® г¬­®¦Ґ­Ёп Ўг¤Ґ¬ бзЁв вм Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ
m*n*k (в Є®ў® зЁб«® г¬­®¦Ґ­Ё©, Є®в®алҐ ­г¦­® ўлЇ®«­Ёвм ЇаЁ бв ­-
¤ ав­®¬ бЇ®б®ЎҐ г¬­®¦Ґ­Ёп - ­® ᥩз б нв® ­ ¬ ­Ґ ў ¦­®). “¬­®¦Ґ-
­ЁҐ ¬ ваЁж  бб®жЁ вЁў­®, Ї®н⮬㠯ந§ўҐ¤Ґ­ЁҐ n ¬ ваЁж ¬®¦­® ўл-
зЁб«пвм ў а §­®¬ Ї®ап¤ЄҐ. „«п Є ¦¤®Ј® Ї®ап¤Є  Ї®¤бзЁв Ґ¬ б㬬 а-
­го 業㠢бҐе ¬ ваЁз­ле г¬­®¦Ґ­Ё©. Ќ ©вЁ ¬Ё­Ё¬ «м­го 業㠢лзЁб-
«Ґ­Ёп Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп, Ґб«Ё Ё§ўҐбв­л а §¬Ґал ўбҐе ¬ ваЁж. —Ёб«®
¤Ґ©бвўЁ© ¤®«¦­® Ўлвм ®Ја ­ЁзҐ­® ¬­®Ј®з«Ґ­®¬ ®в зЁб«  ¬ ваЁж.

ЏаЁ¬Ґа. Њ ваЁжл а §¬Ґа®¬ 2*3, 3*4, 4*5 ¬®¦­® ЇҐаҐ¬­®¦ вм
¤ўг¬п бЇ®б®Ў ¬Ё. ‚ ЇҐаў®¬ 業  а ў­  2*3*4 + 2*4*5 = 24 + 40 =
64, ў® ўв®а®¬ 業  а ў­  3*4*5 + 2*3*5 = 90.

ђҐиҐ­ЁҐ. ЏаҐ¤бв ўЁ¬ ᥡҐ, зв® ЇҐаў п ¬ ваЁж  ­ ЇЁб ­  ­ 
®в१ЄҐ [0,1], ўв®а п - ­  ®в१ЄҐ [1,2],..., s- п - ­  ®в१ЄҐ
[s-1,s]. Њ ваЁжл ­  ®в१Є е [i-1,i] Ё [i,i+1] Ё¬Ґов ®ЎйЁ© а §-
¬Ґа, Ї®§ў®«пойЁе Ёе ЇҐаҐ¬­®¦Ёвм. ЋЎ®§­ зЁ¬ ҐЈ® зҐаҐ§ d[i]. ’ ЄЁ¬
®Ўа §®¬, Ёб室­л¬ ¤ ­­л¬ ў § ¤ зҐ пў«пҐвбп ¬ ббЁў d[0]..d[s].
—ҐаҐ§ a(i,j) ®Ў®§­ зЁ¬ ¬Ё­Ё¬ «м­го 業㠢лзЁб«Ґ­Ёп Їа®Ё§ўҐ-
¤Ґ­Ёп ¬ ваЁж ­  гз бвЄҐ [i,j] (ЇаЁ 0<=i<j<=s). €бЄ®¬ п ўҐ«ЁзЁ­ 
а ў­  a(0,s). ‚Ґ«ЁзЁ­л a(i,i+1) а ў­л ­г«о (¬ ваЁж  ®¤­  Ё ЇҐ-
६­®¦ вм ­ЁзҐЈ® ­Ґ ­ ¤®). ђҐЄга७⭠п д®а¬г«  Ўг¤Ґв в Є®©:

a(i,j) = min {a(i,k)+ a(k,j) + d[i]*d[k]*d[j]}

Ј¤Ґ ¬Ё­Ё¬г¬ ЎҐаҐвбп Ї® ўбҐ¬ ў®§¬®¦­ле ¬Ґбв ¬ Ї®б«Ґ¤­ҐЈ® г¬­®¦Ґ-
­Ёп, в® Ґбвм Ї® ўбҐ¬ k=i+1..j-1. ‚ б ¬®¬ ¤Ґ«Ґ, Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ ¬ в-
аЁж ­  ®в१ЄҐ [i,k] Ґбвм ¬ ваЁж  а §¬Ґа  d[i]*d[k], Їа®Ё§ўҐ¤Ґ-
­ЁҐ ¬ ваЁж ­  ®в१ЄҐ [k,j] Ё¬ҐҐв а §¬Ґа d[k]*d[j], Ё 業  ўл-
зЁб«Ґ­Ёп Ёе Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп а ў­  d[i]*d[k]*d[j].

‡ ¬Ґз ­ЁҐ. „ўҐ Ї®б«Ґ¤­ЁҐ § ¤ зЁ Ї®е®¦Ё. ќв® б室бвў® бв ­Ґв
пб­ҐҐ, Ґб«Ё ­ ЇЁб вм ¬ ваЁжл - ¬­®¦ЁвҐ«Ё ­  бв®а®­ е 1--2,
2--3,..., s-1--s ¬­®Ј®гЈ®«м­ЁЄ ,   ­  Є ¦¤®© е®а¤Ґ i--j ­ ЇЁб вм
Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ ўбҐе ¬ ваЁж, бвпЈЁў Ґ¬ле нв®© е®а¤®©.

8.1.5. †Ґ«Ґ§­ п ¤®а®Ј  б ®¤­®бв®а®­­Ё¬ ¤ўЁ¦Ґ­ЁҐ¬ Ё¬ҐҐв n
бв ­жЁ©. €§ўҐбв­л жҐ­л ЎҐ«Ґв®ў ®в i-®© бв ­жЁЁ ¤® j-®© (ЇаЁ i <
j - ў ®Ўа в­го бв®а®­®­г Їа®Ґ§¤  ­Ґв). Ќ ©вЁ ¬Ё­Ё¬ «м­го бв®-
Ё¬®бвм Їа®Ґ§¤  ®в ­ з «  ¤® Є®­ж  (б гзҐв®¬ ў®§¬®¦­®© нЄ®­®¬ЁЁ
§  бзҐв ЇҐаҐб ¤®Є).

Њл ўЁ¤Ґ«Ё, зв® § ¬Ґ­  ४габЁў­®© Їа®Ја ¬¬л ­  § Ї®«­Ґ­ЁҐ
в Ў«Ёжл §­ зҐ­Ё© Ё­®Ј¤  Ї®§ў®«пҐв 㬥­миЁвм зЁб«® ¤Ґ©бвўЁ©. ЏаЁ-
¬Ґа­® в®Ј® ¦Ґ нддҐЄв  ¬®¦­® ¤®ЎЁвмбп Ё­ зҐ: ®бв ўЁвм Їа®Ја ¬¬г
४габЁў­®©, ­® ў 室Ґ ўлзЁб«Ґ­Ё© § Ї®¬Ё­ вм 㦥 ўлзЁб«Ґ­­лҐ
§­ зҐ­Ёп,   ЇҐаҐ¤ ®зҐаҐ¤­л¬ ўлзЁб«Ґ­ЁҐ¬ Їа®ўҐапвм, ­Ґв «Ё 㦥
Ј®в®ў®Ј® §­ зҐ­Ёп.

8.1.6. ‡ ¤ ­® Є®­Ґз­®Ґ ¬­®¦Ґбвў® б ЎЁ­ а­®© ®ЇҐа жЁҐ© (ў®-
®ЎйҐ Ј®ў®ап, ­Ґ Є®¬¬гв вЁў­®© Ё ¤ ¦Ґ ­Ґ  бб®жЁ вЁў­®©). €¬ҐҐвбп
n н«Ґ¬Ґ­в®ў a[1]..a[n] нв®Ј® ¬­®¦Ґбвў  Ё ҐйҐ ®¤Ё­ н«Ґ¬Ґ­в x.
Џа®ўҐаЁвм, ¬®¦­® «Ё в Є а ббв ўЁвм бЄ®ЎЄЁ ў Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁЁ
a[1]..a[n], зв®Ўл ў १г«мв вҐ Ї®«гзЁ«бп x. —Ёб«® ®ЇҐа жЁ©
¤®«¦­® ­Ґ ЇаҐў®б室Ёвм C*n*n*n ¤«п ­ҐЄ®в®а®© Є®­бв ­вл C (§ ўЁ-
бЁйҐ© ®в зЁб«  н«Ґ¬Ґ­в®ў ў ўлЎа ­­®¬ Є®­Ґз­®¬ ¬­®¦Ґб⢥).

ђҐиҐ­ЁҐ. ‡ Ї®«­пҐ¬ в Ў«Ёжг, ў Є®в®а®© ¤«п Є ¦¤®Ј® гз бвЄ 
a[i]..a[j] ­ иҐЈ® Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп еа ­Ёвбп бЇЁб®Є ўбҐе ў®§¬®¦­ле
ҐЈ® §­ зҐ­Ё© (ЇаЁ а §­®© а ббв ­®ўЄҐ бЄ®Ў®Є).

Џ® бгйҐбвўг нв®в ¦Ґ ЇаЁҐ¬ ЇаЁ¬Ґ­пҐвбп ў Ї®«Ё­®¬Ё «м­®¬  «-
Ј®аЁв¬Ґ Їа®ўҐаЄЁ ЇаЁ­ ¤«Ґ¦­®бвЁ б«®ў  Їа®Ё§ў®«м­®¬г Є®­-
⥪бв­®-бў®Ў®¤­®¬г п§лЄг (б¬. Ј« ўг 13).

‘«Ґ¤гой п § ¤ з  (§ ¤ з  ® аоЄ§ ЄҐ) 㦥 гЇ®¬Ё­ « бм ў Ј« ўҐ
3 (ЋЎе®¤ ¤ҐаҐў ).

8.1.7. €¬ҐҐвбп n Ї®«®¦ЁвҐ«м­ле 楫ле зЁбҐ« x[1]..x[n] Ё
зЁб«® N. ‚лпб­Ёвм, ¬®¦­® «Ё Ї®«гзЁвм N, бЄ« ¤лў п ­ҐЄ®в®алҐ Ё§
зЁбҐ« x[1]..x[n]. —Ёб«® ¤Ґ©бвўЁ© ¤®«¦­® Ўлвм Ї®ап¤Є  N*n.
“Є § ­ЁҐ. Џ®б«Ґ i и Ј®ў еа ­Ёвбп ¬­®¦Ґбвў® вҐе зЁбҐ« ­  ®в-
४Ґ 0..N, Є®в®алҐ ЇаҐ¤бвўЁ¬л ў ўЁ¤Ґ бг¬¬л ­ҐЄ®в®але Ё§
x[1]..x[i].


8.2. ‘⥪ ®в«®¦Ґ­­ле § ¤ ­Ё©.

„агЈ®© ЇаЁҐ¬ гбва ­Ґ­Ёп ४габЁЁ Їа®¤Ґ¬®­бваЁа㥬 ­  ЇаЁ¬Ґ-
ॠ§ ¤ зЁ ® е ­®©бЄЁе Ў и­пе.

8.2.1. Ќ ЇЁб вм ­ҐаҐЄгабЁў­го Їа®Ја ¬¬г ¤«п ­ е®¦¤Ґ­Ёп Ї®б-
«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ ЇҐаҐ¬ҐйҐ­Ё© ¤ЁбЄ®ў ў § ¤ зҐ ® е ­®©бЄЁе Ў и­пе.

ђҐиҐ­ЁҐ. ‚бЇ®¬­Ё¬ ४габЁў­го Їа®Ја ¬¬г:

procedure move(i,m,n: integer);
| var s: integer;
begin
| if i = 1 then begin
| | writeln ('ᤥ« вм 室', m, '->', n);
| end else begin
| | s:=6-m-n; {s - ваҐвЁ© бвҐа¦Ґ­м: б㬬  ­®¬Ґа®ў а ў­  6}
| | move (i-1, m, s);
| | writeln ('ᤥ« вм 室', m, '->', n);
| | move (i-1, s, n);
| end;
end;

‚Ё¤­®, зв® § ¤ з  "ЇҐаҐ«®¦Ёвм i ўҐае­Ёе ¤ЁбЄ®ў б m-Ј® бвҐа¦­п ­ 
n-л©" бў®¤Ёвбп Є в६ § ¤ з ¬ в®Ј® ¦Ґ вЁЇ : ¤ўг¬ § ¤ з ¬ б i-1
¤ЁбЄ ¬Ё Ё Є ®¤­®© § ¤ зҐ б Ґ¤Ё­б⢥­­л¬ ¤ЁбЄ®¬. ‚лЇ®«­пп нвЁ § -
¤ зЁ, ў ¦­® ­Ґ Ї®§ Ўлвм, зв® ҐйҐ ®бв «®бм ᤥ« вм.

„«п нв®© 楫Ё § ўҐ¤Ґ¬ б⥪ ®в«®¦Ґ­­ле § ¤ ­Ё©, н«Ґ¬Ґ­в ¬Ё
Є®в®а®Ј® Ўг¤гв ва®©ЄЁ <i,m,n>. Љ ¦¤ п в Є п ва®©Є  Ё­вҐаЇаҐвЁаг-
Ґвбп Є Є § Є § "ЇҐаҐ«®¦Ёвм i ўҐае­Ёе ¤ЁбЄ®ў б m-Ј® бвҐа¦­п ­ 
n-л©". ‡ Є §л гЇ®ап¤®зҐ­л ў ᮮ⢥вбвўЁЁ б ваҐЎгҐ¬л¬ Ї®ап¤Є®¬ Ёе
ўлЇ®«­Ґ­Ёп: б ¬л© ба®з­л© - ўҐаиЁ­  б⥪ . Џ®«гз ¬ в Єго Їа®Ј-
а ¬¬г:

procedure move(i,m,n: integer);
begin
| ᤥ« вм б⥪ § Є §®ў Їгбвл¬
| Ї®«®¦Ёвм ў б⥪ ва®©Єг <i,m,n>
| {Ё­ў аЁ ­в: ®бв «®бм ўлЇ®«­Ёвм § Є §л ў б⥪Ґ}
| while б⥪ ­ҐЇгбв do begin
| | г¤ «Ёвм ўҐае­Ё© н«Ґ¬Ґ­в, ЇҐаҐ«®¦Ёў ҐЈ® ў <j,p,q>
| | if j = 1 then begin
| | | writeln ('ᤥ« вм 室', p, '->', q);
| | end else begin
| | | s:=6-p-q;
| | | {s - ваҐвЁ© бвҐа¦Ґ­м: б㬬  ­®¬Ґа®ў а ў­  6}
| | | Ї®«®¦Ёвм ў б⥪ ва®©ЄЁ <j-1,s,q>, <1,p,q>, <j-1,p,s>
| | end;
| end;
end;

(‡ ¬ҐвЁ¬, зв® б­ з «  ў б⥪ Є« ¤Ґвбп ва®©Є , Є®в®аго ­ ¤® ўл-
Ї®«­пвм Ї®б«Ґ¤­Ґ©.) ‘⥪ в஥Є ¬®¦Ґв Ўлвм ॠ«Ё§®ў ­ Є Є бваЁ
®в¤Ґ«м­ле б⥪ . (Ља®¬Ґ в®Ј®, ў Ї бЄ «Ґ Ґбвм бЇҐжЁ «м­л© вЁЇ,
­ §лў Ґ¬л© "§ ЇЁбм", Є®в®ал© ¬®¦Ґв Ўлвм ЇаЁ¬Ґ­Ґ­.)

8.2.2. (‘®®ЎйЁ« Ђ.Љ.‡ў®­ЄЁ­ б® ббл«Є®© ­  Ђ­¤¦Ґп ‹Ёб®ўбЄ®-
Ј®.) „«п § ¤ зЁ ® е ­®©бЄЁе Ў и­пе Ґбвм Ё ¤агЈЁҐ ­ҐаҐЄгбЁў­лҐ
 «Ј®аЁв¬л. ‚®в ®¤Ё­ Ё§ ­Ёе: Їа®бв Ёў ойЁ¬ бвҐа¦­Ґ¬ (­Ґ ⥬, б
Є®в®а®Ј® ЇҐаҐ­®бпв, Ё ­Ґ ⥬, ­  Є®в®ал© ЇҐаҐ­®бпв) ¤®«¦­л Ўлвм
ўбҐ бвҐа¦­Ё Ї® ®зҐаҐ¤Ё. „агЈ®Ґ Їа ўЁ«®: Ї®®зҐаҐ¤­® ЇҐаҐ¬Ґй вм
­ Ё¬Ґ­м襥 Є®«мж® Ё ­Ґ ­ Ё¬Ґ­м襥 Є®«мж®, ЇаЁзҐ¬ ­ Ё¬Ґ­м襥 - Ї®
ЄагЈг.

8.2.3. €бЇ®«м§®ў вм § ¬Ґ­г ४габЁЁ б⥪®¬ ®в«®¦Ґ­­ле § ¤ -
­Ё© ў ४габЁў­®© Їа®Ја ¬¬Ґ ЇҐз вЁ ¤ҐбпвЁз­®© § ЇЁбЁ 楫®Ј® зЁб-
« .

ђҐиҐ­ЁҐ. –Ёдал ¤®Ўлў овбп б Є®­ж  Ё § Є« ¤лў овбп ў б⥪,  
§ вҐ¬ ЇҐз в овбп ў ®Ўа в­®¬ Ї®ап¤ЄҐ.

8.2.4. Ќ ЇЁб вм ­ҐаҐЄгабЁў­го Їа®Ја ¬¬г, ЇҐз в ойго ўбҐ
ўҐаиЁ­л ¤ў®Ёз­®Ј® ¤ҐаҐў .

ђҐиҐ­ЁҐ. ‚ н⮬ б«гз Ґ б⥪ ®в«®¦Ґ­­ле § ¤ ­Ё© Ўг¤Ґв ᮤҐа-
¦ вм § Є §л ¤ўге б®ав®ў: § Є § ­ ЇҐз в вм (ў бў®Ґ ўаҐ¬п) ¤ ­­го
ўҐаиЁ­г Ё § Є § ­ ЇҐз в вм ўбҐ ўҐаиЁ­л Ї®¤¤ҐаҐў  б ¤ ­­л¬ Є®а­Ґ¬
(ЇаЁ н⮬ nil бзЁв Ґвбп Є®а­Ґ¬ Їгбв®Ј® ¤ҐаҐў ). ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬,
н«Ґ¬Ґ­в б⥪  Ґбвм Ї а : <вЁЇ § Є § , ­®¬Ґа ўҐаиЁ­л>.
‚л­Ё¬ п н«Ґ¬Ґ­в Ё§ б⥪ , ¬л «ЁЎ® ба §г ЁбЇ®«­пҐ¬ ҐЈ® (Ґб«Ё
нв® § Є § ЇҐаў®Ј® вЁЇ ) «ЁЎ® Ї®¬Ґй Ґ¬ ў б⥪ ваЁ Ї®а®¦¤Ґ­­ле Ё¬
§ Є §  - ў ®¤­®¬ Ё§ иҐбвЁ ў®§¬®¦­ле Ї®ап¤Є®ў.

8.2.5. —в® Ё§¬Ґ­Ёвбп, Ґб«Ё вॡгҐвбп ­Ґ ЇҐз в вм ўҐаиЁ­л
¤ў®Ёз­®Ј® ¤ҐаҐў ,   Ї®¤бзЁв вм Ёе Є®«ЁзҐбвў®?

ђҐиҐ­ЁҐ. ЏҐз в ­ЁҐ ўҐаиЁ­л б«Ґ¤гҐв § ¬Ґ­Ёвм ЇаЁЎ ў«Ґ­ЁҐ¬
Ґ¤Ё­Ёжл Є бзҐвзЁЄг. „агЈЁ¬Ё б«®ў ¬Ё, Ё­ў аЁ ­в в Є®ў: (®ЎйҐҐ
зЁб«® ўҐаиЁ­) = (бзҐвзЁЄ) + (б㬬  зЁбҐ« ўҐаиЁ­ ў Ї®¤¤ҐаҐўмпе,
Є®а­Ё Є®в®але «Ґ¦ в ў б⥪Ґ).

8.2.6. „«п ­ҐЄ®в®але Ё§ иҐбвЁ ў®§¬®¦­ле Ї®ап¤Є®ў ў®§¬®¦­л
гЇа®йҐ­Ёп, ¤Ґ« ойЁҐ ­Ґ­г¦­л¬ еа ­Ґ­ЁҐ ў б⥪Ґ н«Ґ¬Ґ­в®ў ¤ўге ўЁ-
¤®ў. “Є § вм ­ҐЄ®в®алҐ Ё§ ­Ёе.

ђҐиҐ­ЁҐ. …б«Ё ваҐЎгҐ¬л© Ї®а冷Є в Є®ў:
Є®аҐ­м, «Ґў®Ґ Ї®¤¤ҐаҐў®, Їа ў®Ґ Ї®¤¤ҐаҐў®,
в® § Є § ­  ЇҐз в ­ЁҐ Є®а­п ¬®¦­® ­Ґ § Є« ¤лў вм ў б⥪,   ўл-
Ї®«­пвм ба §г.
ЌҐбЄ®«мЄ® Ў®«ҐҐ б«®¦­ п Є®­бвагЄжЁп ЇаЁ¬Ґ­Ё¬  ¤«п Ї®ап¤Є 
«Ґў®Ґ Ї®¤¤ҐаҐў®, Є®аҐ­м, Їа ў®Ґ Ї®¤¤ҐаҐў®.
‚ н⮬ б«гз Ґ ўбҐ § Є §л ў б⥪Ґ, Єа®¬Ґ б ¬®Ј® ЇҐаў®Ј® (­ ЇҐз -
в вм Ї®¤¤ҐаҐў®) ¤Ґ«пвбп ­  Ї ал:
­ ЇҐз в вм ўҐаиЁ­г x, ­ ЇҐз в вм Їа ў®Ґ Ї®¤¤ҐаҐў® x
(в.Ґ. Ї®¤¤ҐаҐў® б Є®а­Ґ¬ ў Їа ў®¬ бл­Ґ x). ЋЎкҐ¤Ё­Ёў нвЁ Ї ал ў
§ Є §л бЇҐжЁ «м­®Ј® ўЁ¤  Ё ўўҐ¤п ЇҐаҐ¬Ґ­­го ¤«п ®в¤Ґ«м­®Ј® еа -
­Ґ­Ёп ЇҐаў®Ј® § Є § , ¬л ®Ў®©¤Ґ¬бп б⥪®¬ ®¤­®вЁЇ­ле § Є §®ў.
’® ¦Ґ б ¬®Ґ, ࠧ㬥Ґвбп, ўҐа­®, Ґб«Ё Ї®¬Ґ­пвм ¬Ґбв ¬Ё «Ґў®Ґ
Ё Їа ў®Ґ - Ї®«гз Ґвбп ҐйҐ ¤ў  Ї®ап¤Є .

‡ ¬Ґз ­ЁҐ. „агЈго Їа®Ја ¬¬г ЇҐз вЁ ўбҐе ўҐаиЁ­ ¤ҐаҐў  ¬®¦­®
Ї®бва®Ёвм ­  ®б­®ўҐ Їа®Ја ¬¬л ®Ўе®¤  ¤ҐаҐў , а §®Ўа ­­®© ў б®®в-
ўҐвбвўго饩 Ј« ўҐ. ’ ¬ ЁбЇ®«м§гҐвбп Є®¬ ­¤  "ў­Ё§". Џ®бЄ®«мЄг
⥯ҐаҐи­ҐҐ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ ¤ҐаҐў  б Ї®¬®ймо ¬ ббЁў®ў l Ё r ­Ґ Ї®§-
ў®«пҐв ­ ©вЁ ЇаҐ¤Є  § ¤ ­­®© ўҐаиЁ­л, ЇаЁ¤Ґвбп еа ­Ёвм бЇЁб®Є
ўбҐе ўҐаиЁ­ ­  ЇгвЁ ®в Є®а­п Є ⥪г饩 ўҐаиЁ­Ґ. C¬®ваЁ в Є¦Ґ
Ј« ўг ®Ў  «Ј®аЁв¬ е ­  Ја д е.

8.2.7. Ќ ЇЁб вм ­ҐаҐЄгабЁў­л© ў аЁ ­в Їа®Ја ¬¬л Ўлбва®©
б®авЁа®ўЄЁ. Љ Є ®Ў®©вЁбм б⥪®¬, Ј«гЎЁ­  Є®в®а®Ј® ®Ја ­ЁзҐ­ 
C*log n, Ј¤Ґ n - зЁб«® б®авЁа㥬ле н«Ґ¬Ґ­в®ў?

ђҐиҐ­ЁҐ. ‚ б⥪ Є« ¤гвбп Ї ал <i,j>, Ё­вҐаЇаҐвЁагҐ¬лҐ Є Є
®в«®¦Ґ­­лҐ § ¤ ­Ёп ­  б®авЁа®ўЄг ᮮ⢥вбвўгойЁе гз бвЄ®ў ¬ ббЁ-
ў . ‚ᥠнвЁ § Є §л ­Ґ ЇҐаҐбҐЄ овбп, Ї®н⮬г а §¬Ґа б⥪  ­Ґ ¬®-
¦Ґв ЇаҐўлбЁвм n. —в®Ўл ®Ја ­ЁзЁвмбп б⥪®¬ «®Ј аЁд¬ЁзҐбЄ®© Ј«г-
ЎЁ­л, Ўг¤Ґ¬ ЇаЁ¤Ґа¦Ёў вмбп в Є®Ј® Їа ўЁ« : Ј«гЎ¦Ґ ў б⥪ Ї®¬Ґ-
й вм Ў®«миЁ© Ё§ ў®§­ЁЄ ойЁе ¤ўге § Є §®ў. Џгбвм f(n) - ¬ ЄбЁ-
¬ «м­ п Ј«гЎЁ­  б⥪ , Є®в®а п ¬®¦Ґв ўбваҐвЁвмбп ЇаЁ б®авЁа®ўЄҐ
¬ ббЁў  Ё§ ­Ґ Ў®«ҐҐ 祬 n н«Ґ¬Ґ­в®ў в ЄЁ¬ бЇ®б®Ў®¬. ЋжҐ­Ё¬ f(n)
ᢥаег в ЄЁ¬ бЇ®б®Ў®¬: Ї®б«Ґ а §ЎЁҐ­Ёп ¬ ббЁў  ­  ¤ў  гз бвЄ  ¬л
б­ з «  б®авЁа㥬 Ў®«ҐҐ Є®а®вЄЁ© (еа ­п ў б⥪Ґ Їа® § Ї б) Ў®«ҐҐ
¤«Ё­­л©, ЇаЁ н⮬ Ј«гЎЁ­  б⥪  ­Ґ Ў®«миҐ f(n/2)+1, § вҐ¬ б®авЁ-
а㥬 Ў®«ҐҐ ¤«Ё­­л©, в Є зв®

f(n) <= max (f(n/2)+1, f(n-1)),

®вЄг¤  ®зҐўЁ¤­®© Ё­¤гЄжЁҐ© Ї®«гз Ґ¬ f(n) = O(log n).

8.3. Ѓ®«ҐҐ б«®¦­лҐ б«гз Ё ४габЁЁ.

Џгбвм дг­ЄжЁп f б ­ вга «м­л¬Ё  аЈг¬Ґ­в ¬Ё Ё §­ зҐ­Ёп¬Ё ®Ї-
।Ґ«Ґ­  ४габЁў­® гб«®ўЁп¬Ё
f(0) = a,
f(x) = h(x, f(l(x))),
Ј¤Ґ a - ­ҐЄ®в®а®Ґ зЁб«®,   h Ё l - Ё§ўҐбв­лҐ дг­ЄжЁЁ. „агЈЁ¬Ё
б«®ў ¬Ё, §­ зҐ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ f ў в®зЄҐ x ўла ¦ Ґвбп зҐаҐ§ §­ зҐ­ЁҐ
f ў в®зЄҐ l(x). ЏаЁ н⮬ ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґвбп, зв® ¤«п «оЎ®Ј® x ў Ї®б-
«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ
x, l(x), l(l(x)),...
а ­® Ё«Ё Ї®§¤­® ўбваҐвЁвбп 0.
…б«Ё ¤®Ї®«­ЁвҐ«м­® Ё§ўҐбв­®, зв® l(x) < x ¤«п ўбҐе x, в®
ўлзЁб«Ґ­ЁҐ f ­Ґ ЇаҐ¤бв ў«пҐв ваг¤ : ўлзЁб«пҐ¬ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®
f(0), f(1), f(2),...

8.3.1. Ќ ЇЁб вм ­ҐаҐЄгабЁў­го Їа®Ја ¬¬г ўлзЁб«Ґ­Ёп f ¤«п
®ЎйҐЈ® б«гз п.

ђҐиҐ­ЁҐ. „«п ўлзЁб«Ґ­Ёп f(x) ўлзЁб«пҐ¬ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм
l(x), l(l(x)), l(l(l(x))),...
¤® Ї®пў«Ґ­Ёп ­г«п Ё § Ї®¬Ё­ Ґ¬ ҐҐ,   § вҐ¬ ўлзЁб«пҐ¬ §­ зҐ­Ёп f
ў в®зЄ е нв®© Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ, Ё¤п бЇа ў  ­ «Ґў®.

…йҐ Ў®«ҐҐ б«®¦­л© б«гз © Ё§ б«Ґ¤го饩 § ¤ зЁ ўап¤ «Ё ўбваҐ-
вЁвбп ­  Їа ЄвЁЄҐ (  Ґб«Ё Ё ўбваҐвЁбп, в® Їа®йҐ ४габЁо ­Ґ
гбва ­пвм,   ®бв ўЁвм). Ќ® ⥬ ­Ґ ¬Ґ­ҐҐ: Їгбвм дг­ЄжЁп f б ­ вг-
а «м­л¬Ё  аЈг¬Ґ­в ¬Ё Ё §­ зҐ­Ёп¬Ё ®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп ᮮ⭮襭Ёп¬Ё
f(0) = a,
f(x) = h(x, f(l(x)), f(r(x))),
Ј¤Ґ a - ­ҐЄ®в®а®Ґ зЁб«®,   l, r Ё h - Ё§ўҐбв­лҐ дг­ЄжЁЁ. ЏаҐ¤Ї®-
« Ј Ґвбп, зв® Ґб«Ё ў§пвм Їа®Ё§ў®«м­®Ґ зЁб«® Ё ­ з вм ЇаЁ¬Ґ­пвм Є
­Ґ¬г дг­ЄжЁЁ l Ё r ў Їа®Ё§ў®«м­®¬ Ї®ап¤ЄҐ, в® а ­® Ё«Ё Ї®§¤­®
Ї®«гзЁвбп 0.

8.3.2. Ќ ЇЁб вм ­ҐаҐЄгабЁў­го Їа®Ја ¬¬г ўлзЁб«Ґ­Ёп f.

ђҐиҐ­ЁҐ. Њ®¦­® Ўл«® Ўл б­ з «  Ї®бва®Ёвм ¤ҐаҐў®, г Є®в®а®Ј®
ў Є®а­Ґ ­ е®¤Ёвбп x,   ў бл­®ўмпе ўҐаиЁ­л i бв®пв l(i) Ё r(i) -
Ґб«Ё в®«мЄ® i ­Ґ а ў­® ­г«о,   § вҐ¬ ўлзЁб«пвм §­ зҐ­Ёп дг­ЄжЁЁ,
Ё¤п ®в «Ёбв쥢 Є Є®а­о. Ћ¤­ Є® Ґбвм Ё ¤агЈ®© бЇ®б®Ў.

"ЋЎа в­®© Ї®«мбЄ®© § ЇЁбмо" (Ё«Ё "Ї®бвдЁЄб­®© § ЇЁбмо") ўл-
а ¦Ґ­Ёп ­ §лў ов § ЇЁбм, Ј¤Ґ §­ Є дг­ЄжЁЁ бв®Ёв Ї®б«Ґ ўбҐе ҐҐ
 аЈг¬Ґ­в®ў,   бЄ®ЎЄЁ ­Ґ ЁбЇ®«м§говбп. ‚®в ­ҐбЄ®«мЄ® ЇаЁ¬Ґа®ў:

f(2) 2 f
f(g(2)) 2 g f
s(2,t(7)) 2 7 t s
s(2, u(2, s(5,3)) 2 2 5 3 s u s

Џ®бвдЁЄб­ п § ЇЁбм ўла ¦Ґ­Ёп Ї®§ў®«пҐв 㤮Ў­® ўлзЁб«пвм ҐЈ® б
Ї®¬®ймо "б⥪®ў®Ј® Є «мЄг«пв®а ". ќв®в Є «мЄг«пв®а Ё¬ҐҐв б⥪,
Є®в®ал© ¬л Ўг¤Ґ¬ ЇаҐ¤бв ў«пвм ᥡҐ а бЇ®«®¦Ґ­­л¬ Ј®аЁ§®­в «м­®
(зЁб«  ўл­Ё¬ овбп Ё Є« ¤гвбп бЇа ў ). ЏаЁ ­ ¦ вЁЁ ­  Є« ўЁиг б
зЁб«®¬ нв® зЁб«® Є« ¤Ґвбп ў б⥪. ЏаЁ ­ ¦ вЁЁ ­  дг­ЄжЁ®­ «м­го
Є« ўЁиг ᮮ⢥вбвўгой п дг­ЄжЁп ЇаЁ¬Ґ­пҐвбп Є ­ҐбЄ®«мЄЁ¬  аЈг-
¬Ґ­в ¬ г ўҐаиЁ­л б⥪ . Ќ ЇаЁ¬Ґа, Ґб«Ё ў б⥪Ґ Ўл«Ё зЁб« 
2 3 4 5 6
Ё ­ ¦ в  дг­ЄжЁ®­ «м­ п Є« ўЁи  s, б®®вўвҐвбвўгой п дг­ЄжЁЁ ®в
¤ўге  аЈг¬Ґ­в®ў, в® ў б⥪Ґ ®Є ¦гвбп зЁб« 
2 3 4 s(5,6)

ЏҐаҐ©¤Ґ¬ ⥯Ґам Є ­ иҐ© § ¤ зҐ. ‚ Їа®жҐбᥠўлзЁб«Ґ­Ёп §­ зҐ­Ёп
дг­ЄжЁЁ f ¬л Ўг¤Ґ¬ а Ў®в вм б® б⥪®¬ зЁбҐ«,   в Є¦Ґ б Ї®б«Ґ¤®-
ў вҐ«м­®бвмо зЁбҐ« Ё бЁ¬ў®«®ў "f", "l", "r", "h", Є®в®аго ¬л Ўг-
¤Ґ¬ Ё­вҐаЇаҐвЁа®ў вм Є Є Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм ­ ¦ вЁ© Є­®Ї®Є ­ 
б⥪®ў®¬ Є «мЄг«пв®аҐ. €­ў аЁ ­в в Є®©:

Ґб«Ё б⥪ зЁбҐ« ЇаҐ¤бв ў«пҐв б®Ў®© ⥪г饥 б®бв®п­ЁҐ
б⥪®ў®Ј® Є «мЄг«пв®а , в® Ї®б«Ґ ­ ¦ вЁп ўбҐе Є« ўЁи
Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ ў б⥪Ґ ®бв ­Ґвбп Ґ¤Ё­б⢥­­®Ґ
зЁб«®, Ё ®­® Ўг¤Ґв ЁбЄ®¬л¬ ®вўҐв®¬.

Џгбвм ­ ¬ вॡгҐвбп ўлзЁб«Ёвм §­ зҐ­ЁҐ, Є ЇаЁ¬Ґаг, f(100). ’®Ј¤ 
ў­ з «Ґ ¬л Ї®¬Ґй Ґ¬ ў б⥪ зЁб«® 100,   Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм б®-
¤Ґа¦Ёв Ґ¤Ё­б⢥­­л© бЁ¬ў®« "f". (ЏаЁ н⮬ Ё­ў аЁ ­в б®Ў«о¤ Ґв-
бп.) „ «ҐҐ б Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвмо Ё б⥪®¬ ўлЇ®«­повбп в ЄЁҐ ЇаҐ-
®Ўа §®ў ­Ёп:


бв ал© бв а п ­®ўл© ­®ў п
б⥪ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм б⥪ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм

X x P X x P
X x l P X l(x) P
X x r P X r(x) P
X x y z h P X h(x,y,z) P
X 0 f P X a P
X x f P X x x l f x r f h P

ЋЎ®§­ зҐ­Ёп: x, y, z,.. - зЁб« , X - Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм зЁбҐ«, P
- Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм зЁбҐ« Ё бЁ¬ў®«®ў "f", "l", "r", "h". ‚ Ї®б-
«Ґ¤­Ґ© бва®ЄҐ ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґвбп, зв® m ­Ґ а ў­® 0. ќв  бва®Є  б®®в-
ўҐвбвўгҐв а ўҐ­бвўг

f(x) = h(x, f(l(x)), f(r(x))),

ќвЁ ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ёп ўлЇ®«­повбп, Ї®Є  Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм ­Ґ бв -
­Ґв Їгбв . ‚ нв®в ¬®¬Ґ­в ў б⥪Ґ ®Є ¦Ґвбп Ґ¤Ё­б⢥­­®Ґ зЁб«®,
Є®в®а®Ґ Ё Ўг¤Ґв ®вўҐв®¬.

‡ ¬Ґз ­ЁҐ. Џ®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм Ї® бгйҐбвўг ЇаҐ¤бв ў«пҐв б®-
Ў®© б⥪ ®в«®¦Ґ­­ле § ¤ ­Ё© (ўҐаиЁ­  Є®в®а®Ј® ­ е®¤Ёвбп б«Ґў ).